UTNianos

Hola tengo 2 ejercicios que no se como hacerlos les agradeceria si me dan una mano:

47) Mostrar que si una funcion es diferenciable en un entorno de un punto x=xo(x subcero) entonces f puede ser expresada de la forma f(x)=l(x)+r(x) donde l(x) es una funcion lineal y r(x) verifica que lim x tiende a xo de r(x)/x-xo=0
48) Hallar las expresiones de l(x) y r(x) en el entorno de los puntos indicados en cada caso para:
a) f(x)=x^3+x en xo = 1
b) f(x)= 2x^2+x-3 en xo=2
c) f(x)=4 en xo=-2


del 48) vi en las respuestas que toman l(x) como la recta tangente y eso se lo restan a f(x) para conseguir r(x) pero no entiendo porque la funcion se puede expresar como la tangente mas r.

La demostración debe estar en algún libro.

f(x) = l(x) + Resto

Se puede ver gráficamente que en el punto de tangencia tanta la función como la recta Tangente, también llamada Aproximación Lineal, Polinomio de Taylor de Grado1
Coinciden

Y en un entorno de este punto, por derecha o por izquierda es una buena aproximación.
Solo si estas muy cerca de ese punto. Veras que hay un pequeño desfasaje entre la recta tangente y la función original.
Esa diferencia es precisamente el resto.