UTNianos

Hola gente, tengo una duda, quizá alguno me pueda ayudar.
¿Las derivadas parciales de x e y, son las componentes de la normal del plano tangente al punto al cual se quiere obtener la derivada? ¿Que relación hay entre el diferencial de 2 variables y la derivada direccional?
No sé si se entiende lo que pregunto, estoy tratando de entender bien de donde sale cada cosa y como se relacionan. Hay 3 formas de derivar: derivadas parciales, direccionales y derivada de 2 variables, supongo que con las 3 cosas se llega a lo mismo, de ahí las preguntas que hago.
Muchas gracias de ante mano.

la derivada direccional es respecto a un vector, en un punto de una funcion y su definicion es un limite (en cualquier libro esta esa definicion). Las derivadas parciales es un caso particular de la direccional, son respecto a los versores canonicos, por eso la parcial en x es respecto a (1,0) e y respecto (0,1). Tiene un significado geometrico pero quizas alguien mas aca en el foro va a poder ayudarte con eso.

(08-08-2017 15:32)Esteban_ escribió: [ -> ]la derivada direccional es respecto a un vector, en un punto de una funcion y su definicion es un limite (en cualquier libro esta esa definicion). Las derivadas parciales es un caso particular de la direccional, son respecto a los versores canonicos, por eso la parcial en x es respecto a (1,0) e y respecto (0,1). Tiene un significado geometrico pero quizas alguien mas aca en el foro va a poder ayudarte con eso.

Hola Estaban, gracias por responder. Si, sé le definición y la interpretación geométrica, mi pregunta es como se relaciona eso con el diferencial en z. Más que nada si las derivadas parciales son la componente de la normal de esta última y que tienen en común esas 3 formas de derivar. Me imagino que no es algo caprichoso, sino que tiene un fin cada una pero no logro entender como se relacionan.

Por lo que me acuerdo, las derivadas parciales forman el gradiente del campo, y este gradiente (que es un vector) es normal a la superficie que representa el campo escalar en cuestion.
No se en donde viste que hay 3 formas de derivar, quizas te referis a que segun lo que tengas (campo escalar, campo vectorial, funcion vectorial o funcion escalar), tenes una forma de derivar "diferente".

Hola, me parece que lo que el necesita es una explicación mas "criolla" de que carajo son las derivadas parciales más que la definición del libro.

Si mal no recuerdo, la derivada direccional te va a decir cuanto "cambia" la función si te movés en esa dirección del vector con respecto al que estás derivando.

Por el otro lado, las derivadas parciales no te dan el vector normal al plano tangente sino que te dan 2 vectores contenidos en el plano que serían 2 vectores "generadores" del plano. (si hacés el producto vectorial entre éstas dos si te da un vector normal)

Son para sacar cosas distintas, fijate igual que si derivas en la dirección de X (1,0,0) te tiene que dar lo mismo que la derivada parcial en X.

Espero que te haya servido y haber mandado la menor cantidad de fruta posible.

Saludos.

Dato de color:

Te acordás que en álgebra la ecuación del plano era Pi = Lambda . Vector 1 + Beta . Vector 2 + Un punto que pertenezca al plano?

Comparala con la ecuación del plano tangente y vas a ver que aparecen las derivadas parciales como lo que sería arriba Vector1 y Vector2 y el punto que pertenece al plano sería Zo.

Saludos bis.

(08-08-2017 17:07)K12 escribió: [ -> ]Hola, me parece que lo que el necesita es una explicación mas "criolla" de que carajo son las derivadas parciales más que la definición del libro.

Si mal no recuerdo, la derivada direccional te va a decir cuanto "cambia" la función si te movés en esa dirección del vector con respecto al que estás derivando.

Por el otro lado, las derivadas parciales no te dan el vector normal al plano tangente sino que te dan 2 vectores contenidos en el plano que serían 2 vectores "generadores" del plano. (si hacés el producto vectorial entre éstas dos si te da un vector normal)

Son para sacar cosas distintas, fijate igual que si derivas en la dirección de X (1,0,0) te tiene que dar lo mismo que la derivada parcial en X.

Espero que te haya servido y haber mandado la menor cantidad de fruta posible.

Saludos.

Dato de color:

Te acordás que en álgebra la ecuación del plano era Pi = Lambda . Vector 1 + Beta . Vector 2 + Un punto que pertenezca al plano?

Comparala con la ecuación del plano tangente y vas a ver que aparecen las derivadas parciales como lo que sería arriba Vector1 y Vector2 y el punto que pertenece al plano sería Zo.

Saludos bis.

Muchas gracias por la explicación. Justo eso que decís es lo q me genera duda. Leí dos libros y lo encontré de dos formas distintas y no termino de entenderlo. En algunos lados dice que las derivadas parciales son las componentes del vector normal al plano tangente, y esas derivadas al mismo tiempo son las componente del gradiente. Y en otros lados dice lo que vos decís, Q las derivadas parciales son rectas que están en el plano tangente, por ende, Como decís vos, el producto vectorial me da la normal. Realmente no sé cuál es la posta. Me estoy volviendo loco con esto jaja. Muchas gracias de nuevo por tu explicación. Saludos!

Quizá se refiere a las componentes del producto vectorial... no sé la verdad

(08-08-2017 21:34)matiii_90 escribió: [ -> ]Muchas gracias por la explicación. Justo eso que decís es lo q me genera duda. Leí dos libros y lo encontré de dos formas distintas y no termino de entenderlo. En algunos lados dice que las derivadas parciales son las componentes del vector normal al plano tangente,

Eso es cierto , vos sabes que un plano se define como

\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot \vec n =0\]

Una de las propiedades de vector gradiente es que es perpendicular a cualquier cosa, por ende ese vector coincide con la normal del plano de una superficie definida como
\[F(x,y,z)=0\],
entonces el plano se puede expresar como

\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot \vec \nabla F(x_0,y_0,z_0) =0\]

en las filas y columnas del vector gradiente estan las derivadas parciales respecto de cada variable o sea tenes

\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (F'_x(x_0,y_0,z_0).F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0) =0\]

haciendo el producto escalar y despejando el z tenes que

\[z=z_0-\dfrac{F'_x(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}(x-x_0)-\dfrac{F'_y(x_0,y_0,z_0)}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}(y-y_0)\]

Saludos