UTNianos

Calcular la circulación sindo el campo
\[(xz^2,y^2 z,yx)\] y S la porción de semiesfera \[x^2+y^2+z^2=4\] z positivo contenida en el cilindro \[x^2+y^2=1\]
La duda que planteo es la siguiente
Cual es la normal que se debe utilizar:
En este caso el piso del cilindro, o sea (0,0,1)? Si parametrizo la esfera de (x,y,sqrt(4-x^2-y^2) me queda un producto vectorial relativamente sencillo de manejar, pero el producto escalar con el campo me devuelve un resultado enorme y dificil de llevar.
Si alguien me puede ayudar a encontrar la rta, se agradece
Saludos

Hola

Por favor revisá el enunciado. La circulación se calcula sobre una curva; y el flujo sobre una superficie.

El enunciado dice circulación a través de S (que es una superficie) limitada por otra (lo que nos sigue dejando una supericie, un trocito de ella). Pero entonces debería de decir flujo. Entonces realmente no sé si se pide la circulación en la curva superior intersección de cono y esfera o el flujo en el trozo de esfera.

Saludos.

Hola
Te adjunto el jpg de enunciado.

Hola

Bien. No quedaba claro qué era lo que se pedía.

(06-11-2018 15:25)cosmoarg escribió: [ -> ]Si parametrizo la esfera de (x,y,sqrt(4-x^2-y^2) me queda un producto vectorial relativamente sencillo de manejar, pero el producto escalar con el campo me devuelve un resultado enorme y difícil de llevar.

Utilizando tu parametrización, sea

\[\vec F_1:\mathcal U\subseteq\Bbb R^2\to\Bbb R^3\mid\vec F_1(u,v)=(u,v,\sqrt{4-u^2-v^2})\quad\text y\quad\mathcal U=\{(u,v)\in\Bbb R^2\mid u^2+v^2\leq1\}.\]

Respetando el sentido de la orientación de la curva y del vector normal tenemos que (pasando a coordenadas polares)

\[\displaystyle\oint_C{\vec f\cdot\mathrm d\vec s}=\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1{r\left(\frac{r^2\cos^2\theta-r^3\cos\theta\sin^2\theta-r^2\sin^2\theta}{\sqrt{4-r^2}}+2r^2\cos\theta\sin\theta\right)\,\mathrm dr}.\]

¡Pero sin hacer las cuentas esta integral es nula!

La integral de sin^2(θ) y cos^2(θ) es la misma en [0,2π] y aparecen con signo opuesto. Es la misma porque son funciones de período [0,2π] y sin^2(θ)=cos^2(π/2+θ).

Las función h(θ)=cos(θ)sin^2(θ) cumple h(θ)=-h(π+θ) y por tanto su integral en [π,2π] es la integral en [0,π] cambiada de signo: la integral en [0,2π] es nula.

Y cos(θ)*sin(θ) es impar y por tanto su integral en un intervalo [-a,a] es nula. Pero por periodicidad es lo mismo integrar en [-π,π] que en [0,2π].

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Podés transformar, mediante el teorema de Stokes, la integral en una de línea:

\[\displaystyle\oint_C{\vec f\cdot\mathrm d\vec s},\]

donde C es la curva intersección de la esfera y el cilindro en z>0:

\[\displaystyle\oint_C{\vec f\cdot\mathrm d\vec s}.\]

Parametricemos la curva con una función de clase 1 e inyectiva en el interior del dominio (es decir en los extremos puede coincidir el valor)

\[\vec\alpha:[0,2\pi]\to\Bbb R^2\mid\vec\alpha(t)=(\cos t,\sin t,\sqrt3).\]

Por el mismo teorema,

\[\displaystyle\oint_C{\vec f\,\mathrm d\vec s}=\int_0^{2\pi}{(3\cos t,\sqrt3\sin^2 t,\cos t\sin t)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,\mathrm dt}=\int_0^{2\pi}{(-3\cos t\sin t+\sqrt3\cos t\sin^2t)\,\mathrm dt}=\frac32\left.\bigl[\cos^2t\bigr]\right|_0^{2\pi}+\frac{\sqrt3}3\left.\bigl[\sin^3t\bigr]\right|_0^{2\pi}=0.\]

Saludos.

hola!
gracias por tu rta.yo llegaba hasta la normal y como ves quedaba ese bloque dificil dde manejar. Veo que usando "el otro lado " de stokes se resuelve aun mas facil
Gracias
Saludos