Hola
(31-01-2019 18:53)Gonz4_ escribió: [ -> ]¿\(a.x\) y \(b.x\), digamos, no podría haber sido \(a^2.x = b^2.x\) ?.
No. Mirá estas definiciones:
Sea \((G,*)\) un grupo con neutro \(e\) y sea \(\sim\) una relación de equivalencia en \(G\). Si para todo \(a,b,x\in G\) se cumple que \[a\sim b\implies x*a\sim x*b,\] decimos que \(\sim\) es
compatible o
estable a izquierda con \(*\).
Si \[a\sim b\implies a*x\sim b*x,\] decimos que \(\sim\) es
compatible o
estable a derecha con \(*\).
Por último, la relación \(\sim\) es de
congruencia o
compatible con \(*\) en \(G\) si es compatible a izquierda y a derecha.
Con esto en mente, el grupo que estamos considerando es \((\Bbb Q\setminus\{0\},\cdot)\) (el primer elemento es el conjunto y el segundo es la operación asociada). La relación de equivalencia \(\sim\) que estamos considerando es \(a\mathcal Rb\iff a^2=b^2\). El antecedente \(a\sim b\) es equivalente a \(a^2=b^2\), y como la operación es el producto de racionales (menos el cero), el consecuente es \((ax)^2=(bx)^2\) (por convención el \(\cdot\) aparece implícito, pero está ahí), porque \(a*x\) es equivalente a una sola expresión, o sea \((a\cdot x)^2\). Lo análogo para analizar la compatibilidad o congruencia a derecha.
(31-01-2019 18:53)Gonz4_ escribió: [ -> ]¿Todo grupo es una relación de equivalencia? digamos, una relación de equivalencia es una operación que cumple los 4 axiomas de grupo?(cerrada, asociativa, neutro y simétrico).
Un grupo es un par ordenado \((G,*)\), en donde \(G\) es un conjunto no vacío y \(*\) una operación en \(G\) que satisface las propiedades interna, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico. Si además se cumple que \(x*y=y*x\) para todo \(x,y\in G\), decimos que el grupo es conmutativo o abeliano.
Una relación de equivalencia \(\mathcal R\) en \(A\) es una relación que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Una operación en un grupo, te devuelve un elemento del mismo conjunto (por ser cerrada), o sea si \(x\) e \(y\) son dos elementos de un conjunto \(G\), entonces \(x*y\in A\). En cambio una relación de equivalencia no devuelve un elemento, sino que compara dos elementos y devuelve verdadero si ambos elementos están relacionados, o falso si no lo están.
(31-01-2019 18:53)Gonz4_ escribió: [ -> ]¿a qué se refiere con compatible? que la operación del conjunto cumpla las mismas propiedades?
¿Cumpla las mismas propiedades de quién?
Elegir decir "compatible" a una relación equivalencia es totalmente arbitrario, podríamos haberlo llamado
pirulito siempre y cuando esa notación resulte clara. Supongo que se llama así porque el resultado de operar tres elementos (dos a izquierda y dos a derecha, en el que uno de ellos es el mismo y el otro es distinto, cuando me refiero a \(a*x\sim b*x\) para el caso de compatibilidad a derecha) resulta invariante. Fijate que el cuantificador es "para todo", o sea que se tiene que cumplir para todos los elementos del conjunto.
Del examen, es claramente cierto que si tomamos tres números racionales distintos de cero cualquiera se operan de manera que uno elevado al cuadrado sea igual a otro elevado al cuadrado, entonces se cumple que el cuadrado del producto de dos números es igual al cuadrado del producto de uno de ellos por otro. Por tanto relacionar dos números mediante la relación \(a\mathcal Rb\iff a^2=b^2\) (de equivalencia, porque lo dice el enunciado) resulta compatible en el grupo dado por el conjunto \(\Bbb Q\setminus\{0\}\) con la operación \(\cdot\).
Saludos.
P.D. Por favor utilizá LaTeX para escribir las expresiones matemáticas.