14-02-2019, 19:24
Subo el final que tomaron el 13 de febrero del 2019. Esta ligeramente borrosa la foto pero creo que se lee bien todo, cualquier cosa me consultan.
14-02-2019, 19:24
19-02-2019, 20:37
Hola! cómo resolviste el 2a?
19-02-2019, 21:41
Hola
Es recomendable que nos muestres tus intentos y errores para así poder ayudarte mejor.
El ejercicio dice:
Solución Utilizaremos el criterio del cociente para analizar si la serie converge (absolutamente) en algún intervalo. Sea \(a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n\). Sabiendo que \(n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!\), entonces \begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}x^{n+1}\frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{-n}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{((n+1)!)^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2(n!)^2(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!(n!)^2}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\right|\\
&=|x|\underbrace{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\right|}_{\{\infty/\infty\}}\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n^2/n^2+2n/n^2+1/n^2}{4n^2/n^2+6n/n^2+2/n^2}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+2/n+1/n^2}{4+6/n+2/n^2}\right|\\
&=|x|\left|\frac{1+0+0}{4+0+0}\right|\\
&=\frac14|x|<1,
\end{align*} por lo que \(|x|<4\), por tanto el radio de convergencia es \(R=4\).
Saludos.
(19-02-2019 20:37)Giulia escribió: [ -> ]¿cómo resolviste el 2a?
Es recomendable que nos muestres tus intentos y errores para así poder ayudarte mejor.
El ejercicio dice:
Ejercicio (2a) escribió:Hallen el radio de convergencia de la serie \[\sum_{n=0}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n.\]
Solución Utilizaremos el criterio del cociente para analizar si la serie converge (absolutamente) en algún intervalo. Sea \(a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n\). Sabiendo que \(n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!\), entonces \begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}x^{n+1}\frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{-n}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{((n+1)!)^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2(n!)^2(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!(n!)^2}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\right|\\
&=|x|\underbrace{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\right|}_{\{\infty/\infty\}}\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n^2/n^2+2n/n^2+1/n^2}{4n^2/n^2+6n/n^2+2/n^2}\right|\\
&=|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+2/n+1/n^2}{4+6/n+2/n^2}\right|\\
&=|x|\left|\frac{1+0+0}{4+0+0}\right|\\
&=\frac14|x|<1,
\end{align*} por lo que \(|x|<4\), por tanto el radio de convergencia es \(R=4\).
Saludos.
02-03-2019, 13:34
Buenas gente, en el ejercicio 3 use l'hopital y me dio que |k|=2. Puede ser que este bien asi?, no estoy seguro
02-03-2019, 19:47
Hola gek123, bienvenido al foro.
La respuesta no es \(|k|=2\). Está bien que hayas usado L'Hopital en el miembro izquierdo, allí te debe dar \(k^2/2\). ¿Cómo resolviste la integral impropia?
Saludos.
(02-03-2019 13:34)gek123 escribió: [ -> ]en el ejercicio 3 usé l'hopital y me dio que |k|=2. ¿Puede ser que este bien así?, no estoy seguro
La respuesta no es \(|k|=2\). Está bien que hayas usado L'Hopital en el miembro izquierdo, allí te debe dar \(k^2/2\). ¿Cómo resolviste la integral impropia?
Saludos.