14-02-2019, 22:01
15-02-2019, 01:01
Buenas! Subo lo que pude resolver. El punto 3) no supe cómo encararlo y el 5)b) no me daba bien 
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15-02-2019, 17:56
El punto 3 dice:
Sea \[ H = \left \{ x \epsilon \mathbb{Q} / x = 3^k, k\epsilon \mathbb{Z} \right \} \]
a) Demuestre que H es subgrupo de \[\left ( \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}, \cdot \right )\] ¿Es normal? Justifique. Halle la clase de equivalencia de 2 respecto de la concurrencia módulo H
Para probar que H es subgrupo de Q - {0} tienen que cumplirse tres cosas:
1) H no tiene que ser vacío
\[k=0 \Rightarrow x=3^0 = 1 \neq 0 \Rightarrow x \in \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}\]
2) H debe estar incluído en Q - {0}
Ídem demostración del punto anterior, por definición de inclusión
\[x=3^0 = 1 \in H \Rightarrow x \in \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}\]
3) Existencia de simétrico en H
\[\forall x \in H, \exists x' : x \cdot x' = x' \cdot x = e\]
Como el neutro del producto es 1, entonces hay que demostrar que
\[\forall x \in H, \exists x' : x \cdot x' = x' \cdot x = 1\]
demostración:
\[\forall x \in H, \exists x' = \frac{1}{x} : x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cdot x = 1\]
Como x está en H, entonces x siempre es distinto de cero (ver demostración de 1)
Entonces, H tiene simétrico
Luego, H es subgrupo.
\[\left ( \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}, \cdot \right )\] es un grupo normal porque el producto es conmutativo. Entonces, como un subgrupo hereda las propiedades de su grupo padre, H también es normal.
Para calcular la clase de equivalencia de 2, sabemos que
\[\bar{2} = \left \{ x \in H : x \equiv 2 (H) \right \}\]
Por definición de módulo
\[\bar{2} = \left \{ x \in H : 3^k | x - 2, k \in \mathbb{Z}\right \}\]
Por definición de divisibilidad
\[\bar{2} = \left \{ x \in H : x = q.3^k + 2, k \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}\right \}\]
b) Demuestre que la siguiente función \[f : \mathbb{Z}\rightarrow H / f(x) = 3^x\] es un homomorfismo entre los grupos \[\left ( \mathbb{Z}, + \right )\] y \[\left ( H, \cdot \right )\]
Una función es homorfismo si
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}, f(x+y) = f(x) \cdot f(y)\]
demostración:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}, f(x+y) = 3^(x+y) = 3^x \cdot 3^y = f(x) \cdot f(y) \]
Entonces, f es homomorfismo.
La clasificación es si la función es inyectiva, biyectiva o sobreyectiva.
Sea \[ H = \left \{ x \epsilon \mathbb{Q} / x = 3^k, k\epsilon \mathbb{Z} \right \} \]
a) Demuestre que H es subgrupo de \[\left ( \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}, \cdot \right )\] ¿Es normal? Justifique. Halle la clase de equivalencia de 2 respecto de la concurrencia módulo H
Para probar que H es subgrupo de Q - {0} tienen que cumplirse tres cosas:
1) H no tiene que ser vacío
\[k=0 \Rightarrow x=3^0 = 1 \neq 0 \Rightarrow x \in \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}\]
2) H debe estar incluído en Q - {0}
Ídem demostración del punto anterior, por definición de inclusión
\[x=3^0 = 1 \in H \Rightarrow x \in \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}\]
3) Existencia de simétrico en H
\[\forall x \in H, \exists x' : x \cdot x' = x' \cdot x = e\]
Como el neutro del producto es 1, entonces hay que demostrar que
\[\forall x \in H, \exists x' : x \cdot x' = x' \cdot x = 1\]
demostración:
\[\forall x \in H, \exists x' = \frac{1}{x} : x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cdot x = 1\]
Como x está en H, entonces x siempre es distinto de cero (ver demostración de 1)
Entonces, H tiene simétrico
Luego, H es subgrupo.
\[\left ( \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}, \cdot \right )\] es un grupo normal porque el producto es conmutativo. Entonces, como un subgrupo hereda las propiedades de su grupo padre, H también es normal.
Para calcular la clase de equivalencia de 2, sabemos que
\[\bar{2} = \left \{ x \in H : x \equiv 2 (H) \right \}\]
Por definición de módulo
\[\bar{2} = \left \{ x \in H : 3^k | x - 2, k \in \mathbb{Z}\right \}\]
Por definición de divisibilidad
\[\bar{2} = \left \{ x \in H : x = q.3^k + 2, k \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Q}-\left \{ 0 \right \}\right \}\]
b) Demuestre que la siguiente función \[f : \mathbb{Z}\rightarrow H / f(x) = 3^x\] es un homomorfismo entre los grupos \[\left ( \mathbb{Z}, + \right )\] y \[\left ( H, \cdot \right )\]
Una función es homorfismo si
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}, f(x+y) = f(x) \cdot f(y)\]
demostración:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}, f(x+y) = 3^(x+y) = 3^x \cdot 3^y = f(x) \cdot f(y) \]
Entonces, f es homomorfismo.
La clasificación es si la función es inyectiva, biyectiva o sobreyectiva.
16-02-2019, 18:05
Con respecto al punto 1c)
Estuve buscando en los apuntes pero todos los ejemplos que vimos el ínfimo y el supremo entre dos números siempre es un único valor. O sea que si tuviéramos en cuenta eso, (A, R) no sería una red y mucho menos Álgebra de Boole.
Cita:Analice si (A, R) es red y Álgebra de BooleEstuve mirando el diagrama de Hasse y me di cuenta que el ínfimo entre 0111 y 1110 tiene dos valores posibles (110 y 0110), y a su vez el supremo entre 110 y 0110 puede ser 0111 o 1110.
Estuve buscando en los apuntes pero todos los ejemplos que vimos el ínfimo y el supremo entre dos números siempre es un único valor. O sea que si tuviéramos en cuenta eso, (A, R) no sería una red y mucho menos Álgebra de Boole.