Hola
Ojo
nicolasAM, tu vector no verifica la condición de ser perpendicular a los vectores dados.
Lo que no están considerando es que un vector que es perpendicular a otros dos vectores, en realidad es una familia de vectores que dependen de un parámetro, es decir uno es el que encontraron: \((-4,8,-4)\), pero en realidad hay infinitos, múltiplos escalares de ése.
Así que a priori no podemos decir que valga \(\vec{w}=(-4,8,-4)\) porque debemos analizar qué sucede con el dato del volumen.
Entonces buscamos un vector genérico \(\vec{w}=(x,y,z)\in\Bbb{R}^3\) que sea perpendicular a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). Ya vimos que con el producto vectorial \(\vec{u}\times\vec{v}\) nos da UN vector, pero queremos uno genérico. Como el vector genérico debe ser perpendicular a ambos, planteamos: \[\left\lbrace\begin{aligned}&\vec{w}\perp\vec{u}\\&\vec{w}\perp\vec{v}\end{aligned}\right.\equiv
\left\lbrace\begin{aligned}&(x,y,z)\cdot(1,2,3)=0\\&(x,y,z)\cdot(3,2,1)=0\end{aligned}\right.\equiv
\left\lbrace\begin{aligned}&x+2y+3z=0\\&3x+2y+z=0\end{aligned}\right.\] Resolviendo el sistema nos queda \(\vec{w}=(\lambda,-2\lambda,\lambda)\) con \(\lambda\in\Bbb{R}\setminus\{0\}\) (obtienen el vector que resulta del producto vectorial con \(\lambda=-4\)).
Finalmente buscamos el parámetro \(\lambda\) mediante la fórmula del volumen que es como puso correctamente
nicolasAM: \[\mathrm{V}=\frac{|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{6}=\frac{|(\lambda,-2\lambda,\lambda)\cdot(-4,8,-4)|}{6}=20\iff\lambda=\pm5.\] Como nos piden un vector elegimos cualquiera de los valores, por ejemplo \(\lambda=5\). Por lo tanto el vector pedido es \(\vec{w}=(5,-10,5)\).
Saludos.
AGREGADO:
(07-08-2020 03:36)nicolasAM escribió: [ -> ](...)
20 = (-2/3)*(-4t) + (4/3)*(8t) - (2/3)*(-4t)
20 = 4/3t + 32/3t + 8/3t
(...)
Una pequeña errata: el primer sumando debe ser \(8/3t\) no \(4/3t\).
También revisá que la fórmula del volumen incluye un valor absoluto en el numerador porque si nos da negativo quedaría negativo arriba y positivo abajo, lo que resulta en un volumen negativo, imposible.
Con todo esto se obtiene \(t=\pm\frac{5}{4}\) que reemplazado en \(\vec{w}=(-4t,8t,-4t)\) da el resultado esperado.