a) Dar las clases de equivalencia en cada caso
Como el conjunto es infinito, no se pueden decir todas las clases de equivalencia, asi que se usa un elemento genérico que representa a un elemento cualquiera del conjunto, pero con él obtenemos la fórmula para saber las clases de cualquier elemento por el que lo reemplacemos.
Vamos a llamar a ese elemento
a, en la clase de equivalencia de a estarían todos los elementos de los reales que se relacionan con a. Lo escribimos asi:
[a]={x∈R/ xTa}
Ahora faltaría averiguar qué significa que ese x se relacione con a, para eso usamos la formula que nos dieron (cambié la
y por una
a para que coincida con la letra que elegí hace un rato):
xTa ⇔ |x-4|=|4-a|
Como hay módulos tenemos cuatro casos,dependiendo si lo de adentro de los módulos es negativo o positivo (voy a hacer primero los casos en los que lo que está dentro del primer módulo es positivo y despues los casos en los que es negativo):
1) Que
|x-4|=x-4 (si x-4 es positivo) y
|4-a|=4-a
Entonces reescibimos la ecuación y despejamos la x:
x-4=4-a
x= 8-a
2) Que
|x-4|=x-4 y
|4-a|=-(4-a) (en este caso lo del segundo módulo es negativo y por eso el módulo le cambia el signo)
x-4= -(4-a)
x-4=a-4
x=a
3)
|x-4|=-(x-4) y
|4-a|=4-a
-(x-4)=4-a
4-x=4-a
-x=-a
x=a
4)
|x-4|=-(x-4) y
|4-a|=-(4-a)
-(x-4)=-(4-a)
4-x=a-4
-x=a-8
x=8-a
Entonces ahora sabemos que un elemento cualquiera (lo llamamos x), pertenece a la clase de equivalencia de otro elemento cualquiera (al que llamamos a) si los dos son el mismo elemento o si x es 8-a.
Lo escribimos asi:
[a]={x∈R/x=a v x=8-a}
Así que por ejemplo, la clase del 2 sería:
[2]={x∈R/x=2 v x=8-2}
[2]={2,6}
Ahora hacemos lo mismo con la otra relación:
xSa ⇔ a^2 = x^2
[a]= {x∈R/ xSa}
a^2 = x^2
|a|=|x|
Tenemos de nuevo cuatro posibilidades
1)
|a|=a y
|x|=x
Entonces:
a=x
2)
|a|=a y
|x|=-x
Entonces:
a=-x
3)
|a|=-a y
|x|=x
Entonces:
-a=x
a=-x
4)
|a|=-a y
|x|=-x
Entonces:
-a=-x
a=x
Y la clase nos queda:
[a]= {x∈R/ x=a v x=-a}
Y por ejemplo la clase del 2 sería: [2]={2,-2}
b)Probar que la interseccion es una relacion de equivalencia
La intersección es lo que tienen en comun las clases de equivalencia que acabamos de obtener:
[a]= {x∈R/
x=a v x=-a}
[a]={x∈R/
x=a v x=8-a}
Asi que la intersección sería
xRa⇔x=a
Ahora hay que probar que la intersección (a la cual llamé relación R) es clase de equivalencia, para eso hay que demostrar que se cumplen la propiedad
reflexiva,
simétrica y
transitiva.
x=x entonces xRx
Se verifica la propiedad reflexiva.
Si xRy entonces x=y, como es una igualdad es lo mismo que decir y=x, entonces yRx.
Se verifica la propiedad simétrica.
Si xRy e yRz-> x=y y y=z, de ahi sabemos que x=y=z, quitamos esa y del medio y nos queda x=z, que quiere decir que xRz.
Se verifica la propiedad transitiva.
c) Dar las clases de equivalencia, el conjunto cociente para la relacion interseccion.
Para las clases de equivalencia hacemos lo mismo que antes:
[a]= {x∈R/ x=a}
También lo podemos poner como
[a]={a}
Despues nos pide el conjunto cociente, que son las clases en las que queda dividido el conjunto en el que apliqué la relación, y se lo escribe como una fracción en la cual la relación divide al conjunto, como llamé R a la relación de la intersección y el conjunto es los Reales, me va a quedar R/R, pero acordate que la primera R es el conjunto y la segunda la relación.
Ahora pensemos, ¿en cuántas clases nos partiría una relación en la que cada clase sólo tiene un elemento? Sería una clase por elemento, entonces, no estaríamos agrupando nada, por lo tanto creo que quedaría:
Reales/R= Reales