(25-07-2010 16:26)AGUSTIN27 escribió: [ -> ]ME PIDE
CALCULE LA CIRCULACION DE F=(2Y; Z; Y) A TRAVES DE LA CURVA C , Y C ES LA CURVA INTERSECCION DEL PLANO Z - X = 2 CON LA ESFERA
X^2 + Y^2 + Z^2 = 4Z RECORRIDA EN SENTIDO CONTRARIO A LAS AGUJAS DEL RELOJ CUANDO SE MIRA DESDE ARRIBA.
A QUIEN PUEDA AYUDARME LE AGRADECERIA MUCHO !!
Se me ocurre hacerlo con el Teorema del Rotor, que dice que la circulación en sentido antihorario de una curva, es igual al flujo del campo a través de la suferficie limitada por la curva.
En este caso tenemos que la curva limita tanto a la esfera como al plano, entonces podemos elejir si calcular el flujo a través plano o de la esfera, y obviamente elejimos calcular el flujo sobre el plano.
Entonces:
Circulación = flujo de F(x,y,z)=(2y,z,y) sobre S: z-x-2=0 (lo despejamos como implícita de esta manera para que la normal quede apuntando hacia el exterior), tal que 2x^2 + y^2 = 4 (esta es la curva C, una elipse, que delimita al plano).
Fujo = integral doble sobre la superficie, del campo por la normal por el diferencial superficie.
El normal es (-1,0,1)/(raiz de 2), y el diferencial superficie es (raiz de 2)*dx*dy (proyectando en el plano xy) (se cancelan las raiz de 2, cuando plantees la integral).
En el xy nos queda una elipse, y combiene resolverlo con coordenadas elípticas. Vos tenés la elipse C: (x^2)/2 + (y^2)/4 = 1
, podés hacer la transformación:
x= (raiz de 2)*r*cos(t)
y=2*r*sen(t)
0 <= t <= 2pi
0 <= r <= 1
Y ahí sale; acordate que el jacobiano en coordenadas elípticas es "(raiz de 2)*2*r", y que el "z" que aparece en el campo, cuando lo metés en la integral, lo tenés que reemplazar por "x+2", y como estás trabajando con este cambio de coordenadas, lo reemplazas por "(raiz de 2)*r*cos(t)".