No soy quien (es más, soy un alumno nuevo) para juzgar la resolución de la profesora pero sinceramente me parece que no es necesario especificar todas las clases ya que argumentando el formato generico sabemos que van a salir infinitas clases en las que tal vez algunas se destaquen. Por eso supongo que Peralta querrá que sean mencionadas sólo para sacarnos tiempo en el final
xD.
Che Lean, ¿de qué fecha es ese final?. Digo, así lo hago bien bien y lo subo si me sale.
A ver, los elementos de G tienen el formato x = 2^k * 7^l * 11^s y los de H tienen el formato de y = 11^t.
Las clases que conforman el Grupo Cociente G/H van a estar dadas por los elementos de G operados con los elementos de H. Ya ha sido mencionado que la multiplicación de números enteros es conmutativa y por ende el subgrupo hereda esta característica. Por lo tanto, el subgrupo es normal.
O sea, cl(z) = z * H siendo z un elemento de G.
En este caso la primer clase genérica es 2^k * 7^l * 11^s:
cl(2^k * 7^l * 11^s) = (2^k * 7^l * 11^s) * (11^t) = 2^k * 7^l * 11^(s + t)
Ahora, tendríamos que preguntarnos qué pasa cuando las constantes están igualadas a 0 (es la única forma de que el 2, 7 y 11 se transformen en 1 dando lugar a una nueva clase con un formato distinto).
Si K=0 y l y s toman valores de Z =>
cl(2^0 * 7^l * 11^s) = (1 * 7^l * 11^s) * (11^t) = 7^l * 11^(s + t)
Si l = 0 y k y s toman valores de Z =>
cl(2^k * 7^0 * 11^s) = (2^k * 1 * 11^s) * (11^t) = 2^k * 11^(s + t)
Si s = 0 y l y k toman valores de Z =>
cl(2^k * 7^l * 11^0) = (2^k * 7^l * 1) * (11^t) = 2^k * 7^l * 11^t
Si K = 0 y l = 0 y s toman valores de Z =>
cl (2^0 * 7^0 * 11^s) = 11^s * 11^t = 11^(s + t)
Si K = 0 y l = 0 y s = 0 =>
cl (2^0 * 7^0 * 11^0) = (2^0 * 7^0 * 11^0) * 11^t = (11^t)
¡Esta clase conforma al subgrupo!
Si K = 0 y s = 0 y l toma valores de Z =>
cl (2^0 * 7^l * 11^0) = (2^0 * 7^l * 11^0) * 11^t = 7^l * 11^t
Si l = 0 y s = 0 y k toma valores de Z =>
cl (2^k * 7^0 * 11^0) = (2^k * 7^0 * 11^0) * 11^t = 2^k * 11^t
Y creo que no me faltó ninguna (y si faltó, supongo que a esta altura entendieron lo que intenté demostrar).
También tengamos en cuenta que si t = 0 se generaría el grupo G en la clase del 2^k * 7^l * 11^s.
En fin, yo pondría esas clases y argumentaría que como k, s y l pertenecen a un conjunto no finito el conjunto cociente no se puede definir por extensión.
PD: No sé usar LaTeX
PD2: Recién estaba estudiando para el final y por chusmear acá me puse a hacer esto, juas xD