UTNianos

COLABORADORES, A MI !!! jajaja
na, el que pueda ayudarme bienvenido sea

alguien puede explicarme como hacer esto ?

"Demuestre que si F: \[R^2 \]--> \[R^2\] es un campo de gradientes, sus lineas de campo (que en cada punto tienen la direccion de F) son ortogonales a sus lineas equipotenciales. ¿Como se enunciaria esta propiedad trabajando en \[R^3 \] ? "

Pueden arrancar diciendome que es una linea de campo xD
porque en la cursada no lo vimos, y en lo final lo toman bastante
y desp la demostracion matematica (si es que hay) porque en el flax esta con palabras... y como nose bien que es una linea de campo, como que no la entiendo mucho..

El que me lo explique gana un +1 en su reputacion (? si es que ya no lo vote antes jaja
ahora se maatan por explicarme, por mi puntito (?

gracias !!!

Off-topic:

Que feo preparar un final con temas que no viste en la cursadaa

Hola gonnza,el téma de lineas de campo y lineas equipotenciales tiene mas que ver con la física, En la cursada que yo tube lo vimos muy por arriba este téma, te paso algunas definiciones desde el punto de vista matemático
Se define como linea de campo de \[\bar{f}\] a toda linea C de ecuación \[\bar{X}=\bar{g}(t)\] que en cada punto
\[\bar{g}(t)\] él vector \[\bar{f}\] es tangente a ella es decir:
\[\bar{f}(\bar{g}(t))=\bar{g'}(t)\] (1)

En \[R^2\] con \[\bar{f}=(Q,P)\] y \[d\bar{s}=(dx,dy)\]

---

(1) equivale a \[\left\{\begin{matrix} x'=P(x,y) \\y'=Q(x,y) \end{matrix} \right\] (2)

En \[R^3\] con \[\bar{f}=(P,Q,R)\] y \[d \bar{s}=(dx,dy,dz)\]

(1) equivale a \[\left\{\begin{matrix} x'=P(x,y,z)\\y'=Q(x,y,z)\\ z'=R(x,y,z)\end{matrix} \right\] (3)

La solución de estos sistemas de ecuaciones diferenciales (las derivadas son respecto de t) determina la familia de lineas de campo de \[\bar{f}\]

Tambíen puede hallarse una ecuación cartesiana de las lineas de campo imponiendo que el \[d \bar{s}\] sea paralélo al campo \[\bar{f}\], en cada punto; es decir.

---

En \[R^2 \quad \bar{f}//d \bar{s} \rightarrow{} \displaystyle\frac{dx}{P(x,y)}= \displaystyle\frac{dy}{Q(x,y)}\] (4)

En \[R^3 \quad \bar{f}//d \bar{s} \rightarrow{\dfrac{dx}{P(x,y,z)}=\dfrac{dy}{Q(x,y,z)}=\dfrac{dz}{R(x,y,z)}}\] (5)

Ej: \[\bar{f}(x,y)=(xy,-y^2)\], de (2) resulta \[\left\{\begin{matrix} x'=xy \quad(\alpha)\\y'=-y^2 \quad (\beta)\end{matrix} \right\]

resolviendo llegas a \[xy=\beta\]

De (4) \[\dfrac{dx}{xy}=\dfrac{dy}{-y^2}=-\dfrac{dx}{x} \rightarrow{xy=\beta}\]

Por último, cuando \[\bar{f}=(P,Q)\] es campo de gradientes \[\exists{}\] función potencial \[g(x,y)=\nabla g= \bar{F}\], pueden hallarse las lineas de campo como trayectorias ortogonales de las lineas equipotenciales .
Espero te sirva

saludos

si, gracias me sirve un poco para resolver si me dicen "obtenga las lineas de campo" pero..

como pruebo que en cada punto las lineas de campo son ortogonales a las lineas equipotenciales ? eso no termino de enganchar como escribirlo con una demostracion..

Hola creo que lo entendí por lo que pregunte a San Google, y además como dijiste esta en el flax, la demostración es sencilla, por eso te la ponen en palabras, es mas conceptual, porque no hay mucho para demostrar, matemáticamente, las líneas equipotenciales únicamente se pueden obtener si f es un campo vectorial, que admite función potencial \[f(x,y)\], es \[\bar{f}(x,y)=\nabla f(x,y)\], pero \[f(x,y)\] es un campo escalar en dos variables, por lo que podemos obtener las curvas de nivel, usando la definicion:
\[S_k=\left\{ \bar{x} \in{R^n}/f(x,y)=k\} \quad k \in{R} \rightarrow{f(x,y)=k} \]
las curvas de nivel son ortogonales (líneas equipotenciales),por la propiedad del véctor gradiente.
Sale de ahí por eso las líneas de campo son ortogonales a las líneas equipotenciales
No se si lo vés

salu2

gracias chabon , sos un grosso !!

siguiendo con la rompeboladas de preguntar cosas, y para mas comodidad con cada tema, aca tengo otra duda jaja gracias !!

http://www.utnianos.com.ar/foro/showthread.php?tid=4170

Con respecto a este tema, el ejercicio 13,a) que dice hallar la familia de líneas de campo:

f(x,y) = (2y-x,x)

Sé que se hace con:
f(x,y)=(F1,F2)

dy/dx = F2/F1


dy/dx = x / (2y-x)

(2y-x)dy = (x)dx

Y de acá cómo sigo?

No puedo hacerla directa considerando a x como constante porque tengo el dx, no?
No es separable.
No es del tipo y' + p(x)y = q(x)
Traté por exacta pero me da 0 y -1.

mmm tiene la pinta de una ec dif de bernoulli ,pero esos temas no se ven en la cursada, o si =?

(16-06-2016 14:30)Saga escribió: [ -> ]mmm tiene la pinta de una ec dif de bernoulli ,pero esos temas no se ven en la cursada, o si =?

No, ni idea, a algo llegué por cambio de variables pero es un quilombo.

Gracias por la explicación!!

las lineas de campo son perpendiculares a las lineas de campo, supongo que la integral deberia dar 0

perdon, quise decir perpendiculares a las equipotenciales