Che gonza eso no es de A.MII lo vas a matar al pibe
!
Mira:por lo que se.
Primero despejas Y.
x*y = 8 entonces y=(8/x)
Ahora usas la fórmula de distancia entre dos puntos \[d(a,b)=sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)\] a y b son la coordenadas en x e y del punto respectivamente.El punto es (3,0).
Entonces a=3, b=0 y y lo reemplazas por 8/x que es la función y te queda así:
\[d(a,b)=sqrt((x-3)^2+(x/8-0)^2)\]
Lo cual te queda:
\[d=sqrt((65/64)*x^2-3x+9)\]
Y ahi tenés la función relación.
Para operar más cómodo podés sacar la raiz cuadrada y elevar la función al cuadrado así.
\[d^2=(65/64)*x^2-3x+9\]
Ahora,optitimizamos del modo conocido:derivando.
\[2d*d'=(65/32)*x-3\]
Despejamos d' y nos queda:
\[d'=((65/32)*x-3)/2d\]
de ahi sacamos que la derivada primera tiene que dar cero (o sea d'=0) como la función distancia es siempre positiva lo que tiene que valer cero es lo de arriba.
(65/32)*x - 3=0
o sea (65/32)*x=3
entonces x=(3*32)/65
x=96/65
Para verificar usalo como fracción pero da aproximadamente 1.477.
Ahora tenés que derivar por segunda vez,para verificar si es un máximo o un mínimo.Recorda que vos buscas un mínimo,es decir la mínima distancia y por lo tanto la derivada segunda debe ser mayor que cero.
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NOTA LOCA:A partir de este punto NO ESTOY SEGURO de si lo que estoy haciendo esta bien,asi que otro tendrá que venir a confirmar si lo que digo es correcto o no .
Aca tengo un par de dudas yo porque no me acuerdo como era un paso,creo que la derivada te dá.
\[d''=(65/32)-d'*((65/32)*x-3)))/2d\]
Pero no estoy seguro.
En cualquier caso,si la derivada segunda es como dije,nuevamente sabes que la distancia es siempre positiva por lo tanto el signo lo determina lo de arrriba.Reeemplaza x por 95/65 y comprobalo.
Ahora viene la parte de la que sí estoy seguro.
Si lo de arriba te da mayor que 0 es un mínimo local y la respuesta es el punto (95/65,f(95/65)).
f(95/65)=(95/65)/8 o sea 95/(65*8)=19/104.
Es decir,el punto es: P={((96/65),(19/104))}
Si lo de arriba te da menor que 0 es un máximo y lo que sacaste es la máxima distancia y la distancia mínima no existe.
Ojo si la derivada te da dos puntos porque ahi tenés que fijarte en la derivada segunda cual te da mayor que cero,porque lo que buscas es un máximo y no un mínimo.
Igual espero que alguien corrobore si lo que hice es cierto o no
.
Saludos!