UTNianos

Hola buenas, tengo un problema para hacer este ejercicio de inducción completa donde hay que aplicar los axiomas de peano..

\[1 + 4 + 7 + ... + (3n-2) = \displaystyle\frac{n(3n-1)}{2}\]

Para P (1) \[3n-2 = \displaystyle\frac{n(3n-1)}{2}\]

\[3-2 = \displaystyle\frac{3-1}{2}\]

\[1=1\]

\[P(1) es verdadero\]

\[Hipotesis: n = h\]
\[1 + 4 + 7 + ... + (3h-2) = \displaystyle\frac{h(3h-1)}{2}\]
\[P(h) es verdadero\]

\[Tesis: h = h+1\]

\[1 + 4 + 7 + ... + (3h-2) + [3(h+1)-2] = \displaystyle\frac{(h+1)[3(h+1)-1]}{2}\]

\[3h + 3 - 2 = \displaystyle\frac{(h+1)(3h+3-1)}{2}\]
\[3h+1 = \displaystyle\frac{(h+1)(3h+2)}{2}\]

\[Demostracion:\]
\[1 + 4 + 7 ...+ (3h-2) = \displaystyle\frac{h(3h-1)}{2}\]

Le sumo el término h+1 de la tesis

\[+ 3h +1 = + 3h+1\]

A esa suma como resultado final me queda:
\[1 + 4 + 7 + ... +(3h-2) + (3h+1) = \displaystyle\frac{h(3h-1)}{2} + (3h+1)\]

Saco común divisor del miembro de la derecha del igual...

\[\displaystyle\frac{3h^2 - h + 6h + 2}{2}\]

Opero términos iguales

\[= \displaystyle\frac{3h^2+5h+2}{2}\]

Y supuestamente esto para que quede igual que del lado derecho de la tesis, no se que tengo que hacer con el último número que puse pero queda:

\[= \displaystyle\frac{(h+1)(3h+2)}{2}\]

Bueno me llevó bastante trabajo escribir esto ojalá alguien me pueda dar una mano!!!

Muchas gracias!

Según tengo entendido el lado derecho de la tesis (o sea el lado que comprime toda la sumatoria en una ecuación) no la podés desarrollar como hiciste.

De todos modos, fijate que llegaste a la solución.

Por demostración llegaste a (3h^2 + 5h + 2)/2 y la Tesis es (h+1)(3h+2)/2

Un tip que me dieron es en una hoja aparte distribuir la tesis. En tu caso queda: (3h^2 + 2h + 3h +2)/2 = (3h^2 + 5h + 2)/2. En la demostración tendrías que hacer un procedimiento muy engorroso que no vale mucho la pena ya que en realidad comprobaste que se verifica por inducción. Así que como llegaste a ese punto y ya no sabes qué hacer podés usar el tip de recién.