Bueno el ejercicio 2 del libro trata de demostrar que para todo x se demuestra la desigualdad.
Dice: \[4+4\sin x-\cos ^{2}x \geq 0\]
Llegue a esto: \[\sin ^2x+4 \sin x+3 \geq 0\]
Es facil darse cuenta que nunca va a ser negativo porque el sen x devuelve entre (-1, 1) y por lo tanto si sen x > 0 no pasa nada porque es todo positivo y si sen x = -1 la ecuacion da 0.
La duda que tengo es como demostrar esto de una forma mas analitica, sin tener que probar que pasa cuando es negativo o positivo. No se si me explico.
Gracias
Lo que podes hacer es ver que valores toma cada termino de la desigualdad y combinar todos:
\[-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow -4 \leq 4\sin x \leq 4-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq -\cos^2 x \leq 1\]
(no importa que al multiplicar \[\cos^2\] por -1 se de vuelta la desigualdad, te sigue quedando entre 0 y 1)
Sumando miembro a miembro todo mas el 4:
\[4 - 4 + 0 \leq 4 + 4\sin x - \cos^2 x \leq 4 + 1 + 40 \leq 4 + 4\sin x - \cos^2 x \leq 9\therefore 4 + 4\sin x - \cos^2 x \geq 0\]
Lo que dedujo el sr. esta bien, y la desigualdad tambien se cumple:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin...+-+cos^2+x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4+%...+-+cos^2+x
Ah mira que loco eso, no se me habria ocurrido
Muchas gracias por la respuesta, es justo lo que buscaba
Saludos
Ojo con este metodo, que nunca miente pero a veces no te sirve para encontrar lo que buscas...por ejemplo, si lo hubieras tratado de hacer con \[\sin ^2x+4 \sin x+3 \geq 0\] como planteaste ahi, no te habria salido (quedaba \[-1 \leq \sin^2 x + 4\sin x + 3 \leq 8\] que no es falso, pero no sirve).
Gracias por el dato, lo voy a tener en cuenta.
(24-02-2011 21:44)rld escribió: [ -> ]Ojo con este metodo, que nunca miente pero a veces no te sirve para encontrar lo que buscas...por ejemplo, si lo hubieras tratado de hacer con \[\sin ^2x+4 \sin x+3 \geq 0\] como planteaste ahi, no te habria salido (quedaba \[-1 \leq \sin^2 x + 4\sin x + 3 \leq 8\] que no es falso, pero no sirve).
estás seguro? si
![[Imagen: mimetex.cgi?4+4\sin%20x-\cos%20^{2}x%20\geq%200]](https://camo.utnianos.com.ar/195eb76946e28f0baa37dc3ad5bba78d7f0b1e93/687474703a2f2f7777772e666f726b6f73682e647265616d686f73742e636f6d2f6d696d657465782e6367693f342b345c73696e253230782d5c636f732532305e7b327d782532305c67657125323030)
=
![[Imagen: mimetex.cgi?\sin%20^2x+4%20\sin%20x+3%20\geq%200]](https://camo.utnianos.com.ar/ecb135a531f760460068c423365b820a3fe13abd/687474703a2f2f7777772e666f726b6f73682e647265616d686f73742e636f6d2f6d696d657465782e6367693f5c73696e2532305e32782b342532305c73696e253230782b332532305c67657125323030)
=> ambas tienen que respetar la misma igualdad...o son iguales y son las dos mayores a 0, o no son iguales...
si X vale -90, te queda 1-4+3, con qué valor de x valdría -1?
Si te digo \[3 \geq 2\], es verdad...tambien es verdad que \[3 \geq 0\], \[3 \geq -10\]. y que \[-999 \leq 3 \leq 999\]...a lo que voy es que no necesariamente vas a encontrar la minima cota inferior para ese intervalo (infimo), solamente vas a encontrar una, que no necesariamente es la que te sirve para el problema en cuestion. Solo porque diga "menor o igual" no significa que necesariamente tiene que ser igual...tambien podrias haber llegado a esto y sigue siendo verdadero:
\[-99 \leq \sin x \leq 99\]
No se si me explico...