21-04-2011, 08:54
Hola, no se bien ahora si en la cursada le dan mucha bolilla al téma de los infinitésimos, o si la dan muy por arriba, son muy útiles a la hora de resolver límites complicados, ya que en pocos pasos se puede llegar a la solución, dejo algunas propiedades y algunos infinitésimos para el que le sirva
Definición Se define una función infinitesimal \[\varphi(x)\] a aquella función que en un entorno del punto A, su límite tienda a 0
Comparación de infinitésimos Sean los siguientes infinitésimos
\[2x\quad 3x\quad x^2\quad x^3\quad a=0\]
a) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{3x}{2x}}=\dfrac{3}{2}\]
b) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{x^2}{x}}=0\]
c) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{x^2}{x3}}=\infty\]
Si el límite del cociente de dos infinitésimos da por resultado:
a) Un número distinto de 0, significa que ambos tienden a 0 aproximadamente con la misma rapidez, se dice que los infinitésimos son del mismo orden, en particular si el número obtenido es 1, se dice que los infinitésimos son equivalentes en el entorno de A, y por tal razón uno es sustituible por el otro en dicho entorno
b) Un número igual a 0, significa que el númerador tiende a 0 más rápido que el denominador, se dice que el númerador es un infinitésimo de orden superior al denominador
c) Infinito significa que el númerador tiende a 0 más lentamente que el denominador, se dice que el denominador es un infinitésimo de orden superior al númerador
Propiedades
1) La suma, resta y/o producto de dos infinitésimos en A es otro infinitésimo en A
2) El producto de una constante por un infinitésimo en A es otro infinitésimo en A
3) El producto de un infinitésimo en A por una función acotada en un entorno de A es otro infinitésimo en A
4) \[\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L\Longleftrightarrow{f(x)=L+\varphi(x)/\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\varphi(x)}=0}\]
Estas propiedades se pueden usar para las demostraciones del álgebra de límites
Infinitesimos equivalentes Se usa únicamente en cocientes, los mas conocidos
Si \[x\longrightarrow{0}\] entoncés son equivalentes las siguientes expresiones
\[\\sen (f(x))\sim{f(x)}\\\\tg (f(x))\sim{f(x)}\\\\arcsen (f(x))\sim{f(x)}\\\\arctg( f(x))\sim{f(x)}\\\\e^{f(x)}-1\sim{f(x)}\\\\ ln (f(x)+1)\sim{f(x)}\\\\1-\cos (f(x))\sim{\dfrac{f(x)^2}{2}}\]
y muchas más, estan son las mas utilizadas
Ejemplo Hallar el límite de:
\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(1+sen(4x))}{tg x}}\]
Sabemos que
\[\ln(1+sen(4x))\sim{sen(4x)\sim{4x}}\wedge tg (x)\sim{x}\Longleftrightarrow{x\longrightarrow{0}}\]
entoncés
\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(1+sen(4x))}{tg x}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{4x}{x}}=4\]
Resultado que pueden verificar utilizando L'hopital, así se puede operar con otros límites mas complicados
saludos
Definición Se define una función infinitesimal \[\varphi(x)\] a aquella función que en un entorno del punto A, su límite tienda a 0
Comparación de infinitésimos Sean los siguientes infinitésimos
\[2x\quad 3x\quad x^2\quad x^3\quad a=0\]
a) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{3x}{2x}}=\dfrac{3}{2}\]
b) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{x^2}{x}}=0\]
c) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{x^2}{x3}}=\infty\]
Si el límite del cociente de dos infinitésimos da por resultado:
a) Un número distinto de 0, significa que ambos tienden a 0 aproximadamente con la misma rapidez, se dice que los infinitésimos son del mismo orden, en particular si el número obtenido es 1, se dice que los infinitésimos son equivalentes en el entorno de A, y por tal razón uno es sustituible por el otro en dicho entorno
b) Un número igual a 0, significa que el númerador tiende a 0 más rápido que el denominador, se dice que el númerador es un infinitésimo de orden superior al denominador
c) Infinito significa que el númerador tiende a 0 más lentamente que el denominador, se dice que el denominador es un infinitésimo de orden superior al númerador
Propiedades
1) La suma, resta y/o producto de dos infinitésimos en A es otro infinitésimo en A
2) El producto de una constante por un infinitésimo en A es otro infinitésimo en A
3) El producto de un infinitésimo en A por una función acotada en un entorno de A es otro infinitésimo en A
4) \[\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L\Longleftrightarrow{f(x)=L+\varphi(x)/\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\varphi(x)}=0}\]
Estas propiedades se pueden usar para las demostraciones del álgebra de límites
Infinitesimos equivalentes Se usa únicamente en cocientes, los mas conocidos
Si \[x\longrightarrow{0}\] entoncés son equivalentes las siguientes expresiones
\[\\sen (f(x))\sim{f(x)}\\\\tg (f(x))\sim{f(x)}\\\\arcsen (f(x))\sim{f(x)}\\\\arctg( f(x))\sim{f(x)}\\\\e^{f(x)}-1\sim{f(x)}\\\\ ln (f(x)+1)\sim{f(x)}\\\\1-\cos (f(x))\sim{\dfrac{f(x)^2}{2}}\]
y muchas más, estan son las mas utilizadas
Ejemplo Hallar el límite de:
\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(1+sen(4x))}{tg x}}\]
Sabemos que
\[\ln(1+sen(4x))\sim{sen(4x)\sim{4x}}\wedge tg (x)\sim{x}\Longleftrightarrow{x\longrightarrow{0}}\]
entoncés
\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(1+sen(4x))}{tg x}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{4x}{x}}=4\]
Resultado que pueden verificar utilizando L'hopital, así se puede operar con otros límites mas complicados
saludos
, si si las raices también tienen sus equivalencias, los infinitésimos, si no me falla la memoria los podes deducir aplicando el teorema del valor medio, como te dije nada que no se dio en la cursada, ahora no se me ocurre ninguno 
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