UTNianos

Cita:Dada \[h(x,y) = f(y/x)\] con \[f \in C^1, f' \neq 0 ^(^*^)\], demuestre que la recta tangente a la linea de nivel de h que pasa por\[ \bar{A} = (x_0,y_0)\], está dirigida por \[\vec{A}\]

(*) Al no indicar el punto, significa que la derivada no se anula en todo punto.

Entontré una resolución en http://analisis2.wordpress.com/2010/05/07/tp-6-ej-6/
Logré llegar a
\[\nabla h(x_0, y_0) = \left( \frac{-f'(y_0/x_0) y_0}{x_0^2}, \frac{f ' (y_0/x_0)}{x_0} \right)\]
Y por producto escalar me da que es perpendicular a \[\vec{A}\] como debería ser, sin embargo no me parece que con eso esté demostrado que la recta tangente está dirigida por ese vector, o sea, sé que si es tangente a la línea de nivel es perpendicular al gradiente, pero no toda recta perpendicular al gradiente es tangente...

(31-05-2011 17:57)Anirus escribió: [ -> ]Y por producto escalar me da que es perpendicular a \[\vec{A}\] como debería ser, sin embargo no me parece que con eso esté demostrado que la recta tangente está dirigida por ese vector, o sea, sé que si es tangente a la línea de nivel es perpendicular al gradiente, pero no toda recta perpendicular al gradiente es tangente...

pero esta recta perpendicular al gradiente pasa por A=(x0,y0) por eso es tangente, ya que el gradiente también pasa por A=(x0,y0) y la curva de nivel también

PD: Hace casi 1 año que no toco nada de AM2, asi que fijate si no me equivoco

O sea, si es una recta que pasa por un punto de la curva y es perpendicular al gradiente en ese punto, es condicion suficiente para que sea tangente a la curva? Sólo una recta tangente cumple eso?

Si no me estoy equivocando en algo, si.
Fijate, dibuja una curva, marcá un punto y dibuja el gradiente (va a ser normal a la curva) ahora traza perpendiculares al gradiente, la perpendicular que pase por el punto va a ser tangente a la curva

Por ahí estoy imaginando mal :/
Es línea de nivel -> la curva está contenida en un plano
el gradiente es normal a la curva -> el gradiente es normal al plano
Una recta está contenida en el plano -> la recta es normal al gradiente
Y por un punto pasan infinitas rectas...

(01-06-2011 16:54)Anirus escribió: [ -> ]Por ahí estoy imaginando mal :/
Es línea de nivel -> la curva está contenida en un plano
el gradiente es normal a la curva -> el gradiente es normal al plano
Una recta está contenida en el plano -> la recta es normal al gradiente
Y por un punto pasan infinitas rectas...

Pero acá no estas siempre en R2 ?
Si no me equivoco sería asi:
Línea de nivel -> la curva está contenida en un plano
el gradiente es normal (perpendicular) a la curva -> el gradiente está contenido en el plano
una recta contenida en el plano -> la recta es perpendicular al gradiente

Esto sería un ejemplo con una curva común:

Las flechitas serian los gradientes de la curva en distintos puntos

Acá hay ejemplos con curvas de nivel:
http://portalevlm.usal.es/INDEX_FILES/BA...ADIENT.PDF

Ahora en R3, el gradiente de una superficie es normal un plano tangente a esa superficie en un punto

Espero estar en lo cierto y no haberte hecho confundir

Gracias