Me dan A, B dos matrices de orden n, donde B es simétrica (B = B^t), me pregunta si es verdadero o falso entonces que (A . B^t . A^t) es simétrica.
Entonces hago... (A . B^t . A^t) => (A . B^t . A^t)^t => A^t . B . A => A^t . B^t . A (porque B es simétrica) => (A . B^t . A^t) <> (A^t . B^t . A) porque la multiplicación de matrices no es conmutativa, sin embargo, en las respuestas del parcial, esta puesto como verdadero. ¿Es una burrada lo que dije yo o lo que se respondió en el parcial? ^^
Mirá, te voy a marcar donde le pifiaste, desde ya te digo que es verdadera y más abajo te explico como es la cosa:
(13-07-2011 17:27)rommisu escribió: [ -> ]Me dan A, B dos matrices de orden n, donde B es simétrica (B = B^t), me pregunta si es verdadero o falso entonces que (A . B^t . A^t) es simétrica.
Entonces hago... (A . B^t . A^t) => (A . B^t . A^t)^t => A^t . B . A => A^t . B^t . A (porque B es simétrica) => (A . B^t . A^t) <> (A^t . B^t . A) porque la multiplicación de matrices no es conmutativa, sin embargo, en las respuestas del parcial, esta puesto como verdadero. ¿Es una burrada lo que dije yo o lo que se respondió en el parcial? ^^
Cuando vos tenés un producto y lo trasponés, el resultado no queda igual a menos que sean matrices conmutables. Mirá a ver si se entiende mejor:
(A.B)^t = B^t . A^t
Ves que le pifiaste?
Bueno, perá. Te voy poniendo esto mientras te escribo la otra parte.
La resolución sería:
(A . B^t . A^t) => A (B^t . A^t) => A ( A . B)^t => A (A. B^t)^t -por ser B simétrica-
=>
Por definición se sabe que A .A^t es simétrico y B ya se sabía que era simétrica, entonces te da una matriz simétrica.
Es lo que se me ocurrió. Tal vez tiene una vuelta más de rosca. Pero es así
Acordate que (A . A^t) es simétrica, así como (A^t . A) también lo es. Por propiedad.
Mirá, acá te lo completé mejor (para no hacer sombreritos, la t al lado de cada una significa traspuesta):
(A . Bt . At)t = ( (A.Bt) . At)t = ( (B.At)t . At )t = A.(B.At)= A.B.At= A.Bt.At
Al haber hecho la traspuesta de todo junto, te vuelve a dar lo mismo, eso significa que lo mismo y eso mismo traspuesto son iguales y por lo tanto es simétrico.
Ahí me salió, ejercicio puto.