UTNianos

En el parcal me tomaron este ejercicio: Hallar soluciones de 33X24(15) (no me sale el simobolito de congruencia jeje.)
Seria 33x es congruente con 24 modulo 15 si 33.x-24=15.t ... no se que joraca hacer con esa x

Creo que ese ejercicio está incompleto.... nunca te dice a qué conjunto pertenece X (o sea, si es natural, entero, etc...). Asumo que hablará de los naturales.

Asumiendo que el ejercicio está "bien" (o sea, no hay errores de tipeo, la profe no se equivoco, etc...)

(33.x) - 24 = 15*t
(33.x) = 15*t + 24
x = (15*t + 24) / 33

Entonces CREO que te quedaría que:

ConjuntoSolucion = {∀ t ∈ N, ∀ x ∈ N / x = (15*t + 24) ∕ 33}

El ejercicio esta tal cual lo dio, en la guia vi que el ultimo de la practica 3 tiene varios asi. Nunca me lo habian dado. buscando un poco vi que usaban mcd(33,15) para sacar un valor d y si d/B( en este caso 24) entonces habia solucion y eran d soluciones, pero igual no sabria despues como sacarlas

No se si esta bien lo que hizo el eh!!
Primero y mas que nada, le faltaron las condiciones de existencia y sufiencia antes de ponerse a calcular..

Es asi mirá:

Vos tenes
\[33x\equiv 24{(15)}}\]

Entonces generalizando podríamos plantear esto

\[Ax\equiv b{(n)}\]

Entonces a partir de eso podemos decir que :

A=33 b=24 n =15

Entonces tenemos que analizar si la solución es unica por lo que tenemos que ver si el MCD entre A y N es 1, en caso de ser así es única.
MCD entre (33,15) es 3 Entonces pasa a haber 3 soluciones y hacemos una pequeña acotacion antes de seguir el procedimiento siguiente:

\[33/3 x\equiv 24/3{(15/3)}\]

Haciendo las cuentas quedaría:
\[11 x\equiv 8{(5)}\]

Por lo que pasamos a plantear esto
\[ X=A^{\varphi_{(n)-1}} * b\]

Entonces podemos decir que:
\[ X=11^{\varphi_{(5)-1}} * 8\]

Y pasamos a resolver.
Para los que no saben
\[{\varphi_{(x)}}\]
Significa que el MCD(a,x)= 1
Siendo \[ a\leq x\]

Entonces
\[{\varphi_{(5)}}\]
Es igual a todos los \[ a\leq 5\]
Y que su MCD con 5 sea 1.

Entonces Phi de 5 serían |{1,2,3,4}| = 4

Por ende la ecuación queda:

\[X= 11^{3} * 8\]

X= 10648
Entonces planteamos:

10048= 5* 2129 + 3

Entocnes . es una solucíon.

Las otras 2 soluciones son las siguientes:

\[1 + \frac{n}{d}; 1+ \frac{2n}{d}\]

Entonces podemos decir que las otras 2 soluciones serían:

3+ 15/3; 3+ 30/3
Entonces serían 8, 13.

Finalizando diríamos que las 3 soluciones principales son:

3,8,13

Che tengo una duda, vos pusiste "Entonces tenemos que analizar si la solución es unica por lo que tenemos que ver si el MCD entre A y N es 1, en caso de ser así es única. MCD entre (33,15) es 1 Entonces la solución es única."

El MCD(33, 15) no es 3 en ves de 1?

En ese caso, cambia la resolucion?

Ahí te lo actualicé... gracias por informarme.

Gracias che, creo que hay otro error:
"


X= 10048
Entonces planteamos:

10048= 3* 349 + 1 "

X da 10648 segun esa formula, trate de seguir pero no me dan los resultados

Listo... ya lo arregle... pero los 3 resultados son lo mismo.

d vendría a ser el MCD que te da entre a y n

Lo que no me cierra son las soluciones porque si supuestamente las soluciones son 1, 6 y 11 al reemplazar en la formula no da.
Osea me refiero a que:
33 * 1 - 24 no es divisible por 15
33 * 6 - 24 ''
33 * 11 -24 ''

Que vendrian a ser 1,6 y 11 entonces? Lo que si me da una posible sol es 10648 y 3.

Perdon por joder tanto, pero no me termina de cerrar y mañana rindo
Gracias

Listo... ya lo arreglé... arrestré un error, tome como n a 3 y era 5. Ahora sí da bien.

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Te hago una salvacion que me olvidé de hacer.
Una vez que hallas el MCD entre a y n tenes que fijaarte que el MCD divida a b sino no tendría solucion la ecuación.

Ejemplo:

\[2\equiv 3{(2)}\]

En este caso vos tenes que el MCD entre (2,2)=2 pero 2 no divide a 3. Por lo tanto no hay solución posible.

Ahh, ahora si ya me quedo mas claro, pero con poner las soluciones principales alcanza no? O habra alguna formula que genera las demas? Y otra cosa si por ej te da que tiene 4 soluciones, ademas de esas 3 que pusiste vos la proxima seria 3 + 3n/d ? O cual es la formula para n soluciones.

Probando con la calcu llegue a la conclusion que en este caso la formula 3 + k n/d siendo n=15 y d=3, con k perteneciente a los enteros genera soluciones para esta ecuacion.

Claro tendrias la solucion general que seria 3 + 5K , con K perteneciente a reales

una pregunta, la resolucion de las ecuaciones de congruencia consiste en:
1_ Sacar el MCD entre a y n
2_ Comprobar si el mcd obtenido divide a b, si no lo divide no hay solucion, y si lo divide hay.
3_ Hay que darle los valores correspondientes a x, por ejemplo, si es modulo 5, valores desde 0 hasta 4 y verificar que se cumpla la congruencia, y en los que se cumple esa congruencia armar la solucion.
Es cierto?

(20-12-2011 20:40)Julestepe escribió: [ -> ]Gracias che, creo que hay otro error:
"


X= 10048
Entonces planteamos:

10048= 3* 349 + 1 "

X da 10648 segun esa formula, trate de seguir pero no me dan los resultados

che Maartin

11^3*8=10648 y por qe ponen "10048= 3* 349 + 1 "" y no 10648=... algo. no entiendo :/