1) hay que calcular el limite cuando x tiende a infinito de la funcion que se da ahi, aplicando conjugados, haciendo cuentas queda
\[\lim_{x\to+\infty} 4x-\sqrt{16x^2-kx}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-kx}{4x+\sqrt{16x^2-kx}}\]
sacando factor comun x, o dividiendo todo por x (como mas les guste) obtenemos
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{-kx}{x\left (4+\sqrt{16-\underbrace{\dfrac{k}{x}}_{\to 0} \right )}}\]
finalmente
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{-k}{8}=\frac{-k}{8}=2\to \boxed{k=-16}\] de donde
\[\boxed{\boxed{h(x)=-16}}\]
se cumple que h es continua y no derivable , luego solo hay que hallar la recta normal a
\[g:R\to R/g(x)=-16(x+2)\tan(x^2+x-2)\]
en el punto
\[A=(1,g(1))\]
reemplazando el valor de x en g obtenemos el punto
\[A=(1,g(1))\to \boxed{\boxed{A=(1,0)}}\]
de ahi pueden seguir ya me parece, solo es aplicar definiciones y hacer cuentitas (por las dudas revisen mis cuentas, puedo equivocarme, soy alumno como uds, pero la idea es esa que doy
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2)Es solo encontrar los valores de a y b que por continuidad y derivibabilidadad , como g tiene recta tangente , entonces es C1, se cumple entonces que
\[\lim_{x\to 2^+} g(x)=\lim_{x\to 2^-}g(x)\to 6=16-4a-2b+5\to \boxed{4a+2b=15}\]
luego
\[\lim_{x\to 2^+} g'(x)=\lim_{x\to 2^-}g'(x)\to \frac{29}{4}=12-4a-b\to \boxed{4a+b=\frac{19}{4}}\]
dos ecuaciones y dos incognitas a resolver, con imagen extrema relativa, se refieren a hallar los extremos relativos en la rama pedida , y calcular cuanto vale la imagen en eso/s extremos
3) Hay que encontrar el punto donde la funcion dada tiene recta tangente, de los datos del enunciado sabemos que dicha recta y la funcion tienen en común la abcisa x=2, reemplazando en la funcion dada de forma
implicita obtenemos
\[2y+\ln (2+y)=-2\]
o "ojimetro" obtenemos que el punto pedido es \[\boxed{A=(2,-1)}\]
como y es funcion de x , aplicamos derivacion implicita obteniendo
\[3x^2+y+xy'+\frac{y'}{2+y}=0\]
despejando y'
\[\boxed{\boxed{y'=-\frac{3x^2+y}{x+\dfrac{1}{2+y}}}}\]
solo es reeplazar valores y obtener la recta pedida... creo que lo demas lo pueden seguir .. complicado no es
4) es muy similar al 2) y el 5) no creo que les presente complicaciones......
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