UTNianos

Cambio de variable- coordenadas polares

Mi duda es la siguiente, nose cuando va o no la matriz jacobiana.


En integrales dobles si yo miro el grafico y la armo de una ( en polares). No va la matriz jacobiana. No?

la matriz jacobiana va cuando ya tengo armada la integral doble respecto (en cartesianas) y ahí la paso a polares?

en integrales triples siempre va la matriz jacobiana?

Gracias

La matriz jacobiana esta presente siempre que realices un cambio de coordenadas, siempre, si no realizas ningun cambio y lo trabajas todo en cartesianas la matriz jacobiana, dicho en criollo vale 1 , es otra la explicacion y demostracion para eso, pero para el caso entendelo asi, total no te piden que demostrar eso en la cursada.

Por ejemplo si ya realizaste el cambio a polares, aparecio la matriz jacobiana, y se da el caso que tenes que hacer otro cambio de coordenadas en funcion de "u" y "v" nuevamente tenes que calcular la matriz jacobiana, entendes?

Por n cambios de coordenadas realizados, van a haber n matrices jacobianas ¿dudas?

saludos

lo que me confunde es que una vez la profesora viendo el gráfico la escribió directamente e polares, sin usar la jocabiana.
osea que cuando PARAMETRIZO tengo q usar la jacobiana???

Era que empeces por ahi , cuando se parametriza no se utiliza la jacobiana, no te confundas, un cambio de coordenadas \[g(r\theta,z)\] por ejemplo, no es lo mismo que una parametrización \[g(r,\theta,z_0)\quad z_0=cte\]

fer512 escribió:viendo el gráfico la escribió directamente e polares, sin usar la jocabiana.
osea que cuando PARAMETRIZO tengo q usar la jacobiana???

¿ Parametrizó o hizo un cambio de coordenadas ? son dos cosas totalmente distintas, ¿ tenes el ejercicio que hizo tu profe ahi ?

jajajaj no puedo ver la diferencia entre PARAMETRISAR y escribirla en POLARES

era un circunferencia. de radio 4,5 por ejemplo.

en cartecianas seria, sin la jacobina:

\[\int_{-4,5}^{4,5}\int_{-\sqrt{4,5-x^{2}}}^{+\sqrt{4,5-x^{2}}} dydx\]


parametrisandola no iría la jacobiana dijiste: aca no estaría haciendo un cambio de variables?

\[\left\{\begin{matrix}x=4,5.cos(\alpha ) \\ y=4,5.sen(\alpha )\end{matrix}\right.\]

remplazaría en la integral doble la x?


pero en polares quedaria asi:

\[\left\{\begin{matrix}x=r.cos(\alpha ) \\ y=r.sen(\alpha )\end{matrix}\right.\]
aca lo tengo q escribir todo de nuevo y agregar la jacobiana?

Gracias

Todo bien es normal hacerse lio con ambas cosas, uno que le agarras la mano .... suponiendo que tenes la siguiente curva

\[C: x^2+y^2=4\]

y tenes que calcular el area, si lo haces en cartesianas tenés que

\[A=4\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dydx=4\pi\]

ahora si queres hacer el calculo en polares , estas haciendo un cambio de coordenadas, si tomas

\[g(r\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\rightarrow \nabla g =r \quad \nabla g=\] matriz jacobiana

observa que el cambio conserva los dos parametros \[\theta , r\] haciendo las derivadas respecto de cada uno, obtenes la matriz jacobiana

la integral quedaria con el jacobiano agregado

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}rdrd\theta=4\pi\]

La parametrización no tiene nada que ver con el cambio de coordenadas, para cada valor del parametro, geometricamente obtenes un punto en ese instante, una parametrización conveniente para el ejemplo seria

\[C(t)=(2\cos t,2\sin t)\quad t\in[0,2\pi]\]

Observa que la parametrizacion, en este caso depende de un solo parametro, si haces la derivada de C no obtenes la matriz jacobiana, sino el gradiente de C, lo entendes, por eso no son

lo mismo un cambio de coordenadas y una parametrizacion.

Cualquier duda.... bueno espero te sea de utilidad y me haya hecho entender

saludos

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(05-11-2011 22:37)fer512 escribió: [ -> ]jajajaj no puedo ver la diferencia entre PARAMETRISAR y escribirla en POLARES

era un circunferencia. de radio 4,5 por ejemplo.

en cartecianas seria, sin la jacobina:

\[\int_{-4,5}^{4,5}\int_{-\sqrt{4,5-x^{2}}}^{+\sqrt{4,5-x^{2}}} dydx\]

correcto

Cita:parametrisandola no iría la jacobiana dijiste: aca no estaría haciendo un cambio de variables?

\[\left\{\begin{matrix}x=4,5.cos(\alpha ) \\ y=4,5.sen(\alpha )\end{matrix}\right.\]

remplazaría en la integral doble la x?

No es un cambio de variables es una parametrizacion de la curva dada, te sirve si queres obtener la recta tangente a esa curva, pero no es el caso que concierne ahora

Cita:pero en polares quedaria asi:

\[\left\{\begin{matrix}x=r.cos(\alpha ) \\ y=r.sen(\alpha )\end{matrix}\right.\]
aca lo tengo q escribir todo de nuevo y agregar la jacobiana?

Asi es, aparece la jacobiana por lo que te explique en el post anterior a este si tenes dudas o no me estoy dejando entender, porfa hazlo saber

Muchas Gracias, ahora entendi y te jodo una ultima vez.

como lo escribo en polares si no esta el centro en (0,0) ej (1,0)

Gracias

en general cuando nuestra curva no esta centrada en el origen y necesitamos hacer un cambio de cordenadas entonces

\[g(r,\theta)=(h+r\cos\theta,k+r\sin\theta) \quad A=(h,k)\]

Feer512 escribió:Muchas Gracias, ahora entendi =D y te jodo una ultima vez.

como lo escribo en polares si no esta el centro en (0,0) ej (1,0)

Gracias

no me jode en lo absoluto, que palabra fea che , tomando lo que dije anteriormente y la curva \[ C: (x-1)^2+y^2=1\] con un cambio de coordenadas adecuado

\[g(r,\theta)=(1+r\cos\theta,r\sin\theta) \quad A=(1,0)\]

repito nuevamente no es ninguna parametrización es solo un cambio de coordenadas, bueno espero te sea de utilidad, cualquier duda, andamos por aca

saludos y suerte con los parciales