Hola, unos detalles
(16-11-2011 14:39)matyary escribió: [ -> ]Plano coordenado \[xy\]
\[3x^2+5y^2 \leq z \leq 4+x^2+y^2\]
\[{\color{red}x=r.cos \Theta}\]
\[{\color{red}ry=r.sen \Theta}\]
Nos piden el volumen en coordenadas cilindricas o sea tenemos que tomar
\[g(r,\theta,z)=(r\cos\theta, r\sin\theta,z)\]
como lo estas tomando noe s un cambio a coordenadas cilindricas, simplemente es la expresion general de la parametrizacion de una circunferencia, el que corrije te lo puede tomar como un regular en esa parte, toma en cuenta que estamos haciendo un cambio de coordenadas o sea debemos tener 3 parametros en nuestro cambio ¿entendes?
Cita:\[3x^2+5y^2 = 4+x^2+y^2 \to 2x^2+4y^2 = 4 \to x^2+2y^2=2 \to \frac{x^2}{2}+y^2=1\] La intersección es una elipse con radio 1.
La elipse no puede ser que tenga radio 1, si fuese de radio 1 es una circunferencia ademas si no me falla la memoria la formula general de una elipse, centrada en el origen, es
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]
o sea en ningun momento nos dan que el radio valga 1, el mismo varia segun a y b, eso si no me falla la memoria
Cita:\[3r^2cos^2 \Theta+5r^2sen^2 \Theta \leq z \leq 4+r^2\]
esto esta bien
ahora por transitividad esa condicion se cumple si y solo si
\[3r^2\cos^2 \theta+5r^2\sin^2 \theta \leq 4+r^2\]
operando convenientemente obtenemos el valor de nuestro radio
\[0\leq r \leq \frac{2}{\sqrt{3\cos^2\theta+5\sin^2\theta-1}}\]
no hay restricciones sobre \[\theta\] por lo que
\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]
finalmante
\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3\cos^2\theta+5\sin^2\theta-1}}} \int_{3r^2cos^2\theta+5r^2\sin^2\theta}^{4+r^2}rdzdrd\theta=2\sqrt{2}\pi\]
no hice las cuentas pero me imagino que al operar de alguna manera se puede cancelar la raiz, podes verificar el resultado en el
wolfram
ahora me voy para la facu, cuando vuelva lo veo con mas calma, si alguien mas desea aportar algo ...por ahi me equivoque, pero en lo personal lo entregaria asi como lo plantee, parece una
integral re re re complicada de resolver, por suerte estan las tablitas, en AM2 te permiten el uso de tablas asi que no se, lo veo luego, si hay error avisen por fa, no me gustaria estar mandando
fruta.
saludos