UTNianos

Y una vez más aquí con una duda.

Off-topic:

Ya se deben haber cansado de mi usuario y de mis preguntas boludas Jaja

Práctica 10. Ejercicio 5.

Hallar el área de la siguiente superficie:

\[z=2x^2\]
\[y \leq x\]
\[z \leq 6\]
Primer octante \[\to x>0 ; y>0 ; z>0\]

Entonces, parametrizo la superficie.
\[\Phi (u,v) = (u,v,2u^2)\]

\[\Phi'_u = (1,0,4u) \]

\[\Phi'_v = (0,1,0) \]

Producto vectorial.
\[\Phi'_u \times \Phi'_v = (1,0,4u) \times (0,1,0) = (-4u,0,1) \]

\[||\Phi'_u \times \Phi'_v|| = ||(-4u,0,1)|| = \sqrt {16u^2+1} \]

Planteo la integral doble para obtener el área de la superficie \[S\]
\[Area (S) = \int \int ||\Phi'_u \times \Phi'_v|| dudv = \int \int \sqrt {16u^2+1} dudv\]

Bueno, dirán donde está mi duda... NO ENTIENDO NADA! Hablando en serio, no logro darme cuenta cuales son los límites de las variables elegidas:

\[0 \leq v \leq u\]

Y los límetes de \[u?\]

Lo único que sé es que... \[u > 0\]

Si algún error en el problema avisenme que quizás le estoy pifiando a eso también.

Gracias de antemano. Saludos!

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Supongo que lo que tengo que hacer para hallar el límite que me falta es igualar \[z=6\]

Entonces:
\[2u^2=6 \to u=\sqrt {3}\]

De ahí obtengo que:
\[0 \leq u \leq \sqrt {3}\]

\[\int_{0}^{\sqrt 3} \int_{0}^{u} \sqrt {16u^2+1} dvdu= \frac{57}{8}\]

Corroboren: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...t+%283%29+

Bueno, de una duda pasó a ser un aporte porque me dio bien el resultado.

Todo fue gracias a una duda de otro usuario a la que respondió Saga y me di cuenta, ahora busco el enlace y lo pego acá.

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Leyendo ésto me di cuenta como terminar el ejercicio: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-dud...tematico-2

Saludos!

perfecto

Dado que ya resolviste el problema, me limito a aportar algo respecto a la interpretación matemática desde un punto de vista geométrico (puesto que, desde el algebraico, está correcto):

(19-11-2011 16:15)matyary escribió: [ -> ]Supongo que lo que tengo que hacer para hallar el límite que me falta es igualar \[z=6\]

Es decir, creo que lo importante viene más por el lado de:

(19-11-2011 16:15)matyary escribió: [ -> ]Hablando en serio, no logro darme cuenta cuales son los límites de las variables elegidas

Off-topic:

Lo que viene a continuación no es de gran valor, puesto que como explicación puede leerse en un libro de lectura accesible como el J. Stewart. Supongo que tiene sentido escribirlo porque le ahorraría los 30 segundos que le podría llevar al interesado buscar en el índice del libro de cabecera

¿Qué estamos haciendo cuando aplicamos el algoritmo para computar una integral de superficie en el espacio, utilizando como diferencial de área genérico, el valor absoluto del producto vectorial de dos derivadas parciales cruzadas?

En general, nuestro problema es el del área del "mantel arrugado". En la vida cotidiana, si uno tiene un mantel arrugado y necesita conocer su área, simplemente lo extiende hasta formar un rectángulo. La base del procedimiento es la misma: la superficie a computar debe transformarse en una región bidimensional plana, "estirada", cuya área podamos calcular como el límite de una sumatoria riemanniana de términos rectangulares elementales.

No obstante, así como al cambiar de sistemas (ortogonales) coordenados en el caso del cómputo de integrales volumétricas, introducimos el determinante de la matriz jacobiana del automorfismo que describe el cambio de coordenadas en cuestión, para preservar la información sobre el volumen del recinto de integración original, en este caso aparece un "factor de corrección" similar que se aplica sobre el elemento de área transformado. Simbólicamente, la analogía sería:

\[ \textbf{T}: (x,y,z)\rightarrow (u,v,w)\Rightarrow \int_{V}dx\wedge dy\wedge dz\rightarrow \int_{V}\left | J_{\textbf{T}^-1} \right |du\wedge dv\wedge dw\]
\[\textbf{T}: (x,y,f(x,y))\rightarrow (u,v)\Rightarrow \int_{S}d\textbf{S}(x,y)\rightarrow \int_{S}\left \| \frac{\partial \textbf{T}^{-1}}{\partial u} \times \frac{\partial \textbf{T}^{-1}}{\partial v}\right \|du\wedge dv\]

El factor de corrección (correspondiente al módulo del producto vectorial) efectivamente permite realizar la integración sobre una superficie plana (región acotada del plano paramétrico u-v), sin perder la información referente a la superficie arrugada original.

En el caso que vos planteás, dado que la porción de superficie es proyectable sobre el plano OXY, el "plano paramétrico" respecto al cual aplica la transformación y éste son efectivamente equivalentes (la porción de superficie parabólica recta se parametriza con su "sombra" sobre el plano OXY):

[attachment=1778]
[attachment=1779]
[attachment=1780]

Es decir que en este caso, \[u\equiv x\] y \[v\equiv y\]
El recinto transformado es justamente la superficie triangular (isósceles, recta) limitada por:

\[y=x\]
\[y=0\]
\[x=\sqrt{3}\]

Los límites de integración los calculaste correctamente como decía al principio, asi que no hay mucho más para agregar, excepto que, ante la duda, un buen consejo es que trates de graficar como apoyo la figura transformada de la superficie plana en el plano paramétrico u-v, porque si bien "igualando" las expresiones de las superficies límite (como hiciste) vas a llegar a los datos que necesitás para resolver el problema, puede que tengas dudas sobre el orden en que van los extremos de las integrales iteradas.

Off-topic:

te corregi el error en las formulas de Latex gonn.-

Perfecto, muchas gracias! La mayoría de las veces trato de graficar aunque en algunos ejercicios se me complica la cosa. Por suerte este ejercicio no era tan complicado de graficar, dos rectas y un paraboloide. Aunque no me resultó muy fácil el cáculo de todas formas, con la práctica espero mejorar. Saludos!