(23-11-2011 02:13)rulo escribió: [ -> ]Antes que nada,gracias por la respuesta.Reconozco que "mande cualquiera" [citation needed].
El campo estaba dado por \[ f(x,y)= (y-2xy+1, x+1-x^2)\] , el último término era x^2 y la condicion de derivadas parciales se verifica,derivando la primera respecto de \[y\] y la segunda respecto de \[x\].
Ningún problema che, es un gusto poder dar una mano.
Siguiendo con la explicación, ahora sí, sabiendo que se verifica la condición de igualdad de las derivadas parciales cruzadas, puede afirmarse que existirá una apropiada familia de campos escalares \[(U)\in C^{2}\]
Lo siguiente es plantear el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que constituye en sí mismo el gradiente vectorial que se dispone como dato. Luego:
\[\frac{\partial U}{\partial x}=y-2xy+1\]
\[\frac{\partial U}{\partial y}=x+1-x^{2}\]
Para obtener la familia de campos escalares se realiza la integración parcial de las ecuaciones precedentes. El algoritmo es sencillo, pero debe llevarse a cabo siguiendo un orden para evitar confusiones. Para un sistema de
n ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (en
n variables independientes):
1) Se elige una de las ecuaciones diferenciales parciales del sistema y se la integra parcialmente respecto de la variable en cuestión. En lugar de obtenerse una primitiva más una constante de integración, se suma una función dependiente de todas las variables excluídas en la integración parcial, es decir, un campo indeterminado dependiente de (
n-1) variables.
2) Se deriva parcialmente la expresión obtenida en el paso previo respecto de una de las restantes variables independientes, y se iguala el resultado a la ecuación diferencial parcial correspondiente.
3) Se itera el paso previo hasta agotar todas las ecuaciones disponibles. Se obtendrá así un sistema de (
n-1) ecuaciones diferenciales en derivadas parciales correspondientes al campo obtenido en el primer paso, al cual corresponderá a su vez un sistema resultante de (
n-2) ecuaciones diferenciales. Finalmente, este proceso continúa hasta obtener una única ecuación diferencial ordinaria que redunda en una función escalar más una constante de integración. El procedimiento permite así obtener la expresión del campo original en las
n variables independientes más la constante de integración obtenida en el último paso.
Para este caso particular,
n=2 y únicamente se obtiene una función indeterminada en una sola variable, con lo cual se obtiene de inmediato la ecuación diferencial ordinaria mencionada en el inciso 3) :
\[1) \int \left (\frac{\partial U}{\partial x} \right ){\partial x}=\int \left (y-2xy+1 \right ){\partial x}=yx-x^{2}y+x+\gamma (y)\]
\[2) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial (yx-x^{2}y+x+\gamma (y))}{\partial y}=x-x^{2}+\frac{\mathrm{d\gamma} }{\mathrm{d} y}=x+1-x^{2}\]
\[3) \frac{\mathrm{d\gamma} }{\mathrm{d} y}=1\Rightarrow \gamma(y)=y+K;K:cte\]
Finalmente, la familia de campos escalares resulta:
\[U:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}/U(x,y)=y(x+1)+x-x^{2}+K\]
La constante K se determina con una condición de contorno sobre el campo potencial. Por ejemplo:
\[U(0,1)=3\Rightarrow 1(0+1)+0-0^{2}+K=3\Rightarrow K=2\]