11-12-2011, 20:13
Hola gente,
Iba a hacer una consulta acerca del ejercicio siguiente pero mientras copiaba me di cuenta del error que estaba cometiendo, como me costó copiar lo dejo como un aporte.
Enunciado:
Siendo \[\bar{f}(x,y)=(g(x-y),xy-g(x-y)) \right con g \in C^1\], calcule la circulación en sentido positivo de f a lo largo de la curva plana de ecuación \[x^2+y^2=2y\]
Mi resolución:
Yo sé que para la circulación lo puedo hacer por tres métodos distintos, una integral simple mediante una parametrización adecuada, Stokes, o Green. En este caso conviene por Green para sacarse de encima a la función \[g\]
\[P'_y=-g'(x-y) \right ; \right Q'_x=y-g'(x-y)\]
\[Q'_x-P'_y=y\]
Aplico cambio de coordenadas:
\[x=rcost\]
\[y=rsent\]
\[x^2+y^2=2y \to r^2=2rsent \to r=2sent\]
\[0 \leq r \leq 2sent\]
\[2sent \geq 0 \to sent \geq 0 \to t=0 \right t=\pi \right t=2\pi\] (posibles resultados).
Como la función SEN es positiva en el primer y segundo cuadrante, el intervalo queda así:
\[0 \leq t \leq \pi\]
Entonces llegamos a este resultado:
Circulación-Wolfram.
Resolución dada por el CEIT:
La única diferencia es cómo tomó el cambio de coordenadas:
\[x^2+y^2=2y \to x^2+(y-1)^2=1\]
\[x=rcost\]
\[y=1+rsent\]
Entonces, de aquó obtengo los límites:
\[0 \leq r \leq 1\]
\[0 \leq r \leq 2\pi\]
Resultado:
Circulación-Wolfram.
Espero que les sirva. Saludos!
Iba a hacer una consulta acerca del ejercicio siguiente pero mientras copiaba me di cuenta del error que estaba cometiendo, como me costó copiar lo dejo como un aporte.
Enunciado:
Siendo \[\bar{f}(x,y)=(g(x-y),xy-g(x-y)) \right con g \in C^1\], calcule la circulación en sentido positivo de f a lo largo de la curva plana de ecuación \[x^2+y^2=2y\]
Mi resolución:
Yo sé que para la circulación lo puedo hacer por tres métodos distintos, una integral simple mediante una parametrización adecuada, Stokes, o Green. En este caso conviene por Green para sacarse de encima a la función \[g\]
\[P'_y=-g'(x-y) \right ; \right Q'_x=y-g'(x-y)\]
\[Q'_x-P'_y=y\]
Aplico cambio de coordenadas:
\[x=rcost\]
\[y=rsent\]
\[x^2+y^2=2y \to r^2=2rsent \to r=2sent\]
\[0 \leq r \leq 2sent\]
\[2sent \geq 0 \to sent \geq 0 \to t=0 \right t=\pi \right t=2\pi\] (posibles resultados).
Como la función SEN es positiva en el primer y segundo cuadrante, el intervalo queda así:
\[0 \leq t \leq \pi\]
Entonces llegamos a este resultado:
Circulación-Wolfram.
Resolución dada por el CEIT:
La única diferencia es cómo tomó el cambio de coordenadas:
\[x^2+y^2=2y \to x^2+(y-1)^2=1\]
\[x=rcost\]
\[y=1+rsent\]
Entonces, de aquó obtengo los límites:
\[0 \leq r \leq 1\]
\[0 \leq r \leq 2\pi\]
Resultado:
Circulación-Wolfram.
Espero que les sirva. Saludos!