1) Expresar el volumen en coordenadas cilindricas y esfericas
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2z , con z\geq 1\]
2)Calcule el flujo de f a traves de la superficie de ecuacion
\[x^{2}+y^{2} = 2x , con z\leq 4-x^{2}-y^{2}\]
en el primer octante, siendo \[f(x,y,z) = (1,x,z)\]
Gracias!
A qué llamás \[conz\]? \[cosz\]?
Saludos!
Si, eso entiendo... pero no habrás querido poner \[cosz\]? En caso de ser así, me parece que...
Ejercicio 1:
Cilíndricas.
\[x=rcost\]
\[y=rsent\]
\[z \geq 1 \]
\[r^2+z^2 \leq 2z \to r^2 \leq 1-(1-z)^2 \to z \leq 1-\sqrt{1-r^2}\]
\[1 \leq z \leq 1-\sqrt{1-r^2}\]
\[0 \leq t \leq 2\pi\]
\[0 \leq r \leq 1\]
\[Vol = \int^{2\pi}_{0} \int^{1}_{0} \int^{1-\sqrt{1-r^2}}_{0} dzdrdt\]
Esféricas.
No sé, todavía no tengo muy en claro ésto.
Fijate si hay algún error, ahora veo el ejercicio 2.
no es coseno es la superficie CON z >= 1
Ejercicio 2:
También conviene utilizar coordenadas cilíndricas.
Entonces:
\[r^2=2cost\]
\[z \leq 4 - r^2\]
\[div(\bar{f})=1\]
Buscás los tres límites necesarios para plantear el flujo por divergencia. Acordate que:
\[x \geq 0\]
\[y \geq 0\]
\[z \geq 0\]
Si tenés algún inconveniente en resolverlo avisá.
Saludos!
Ahhhhhhhh, recién leí eso. Disculpá no te había entendido. Modifico, esperá unos minutos.
MODIFIQUE ESTE Y EL ANTERIOR, FIJATE.
Pero con divergencia no hay q restarle niguna tapa?¿, como seria?
Sí, habría que restarle la tapa.
A ver, esperemos que salga...
\[0 \leq z \leq 4-r^2\]
\[0 \leq r \leq 2\]
\[0 \leq t \leq 2\pi\]
Y tendrías que hacer la integral triple de la divergencia por r (con estos tres límites) menos la integral doble (límites de r y t) de r para z=0.
Hola, para el primero de acuerdo con maty, aunque debe haber algun error de signo ya que en coordenadas cilindricas y esfericas me da con signo positivo, y a el con signo negativo
verifica el resultado con
wolfram
Mi planteo, en cilindricas
\[g:R^3\rightarrow R^3/g(r,t,z)=(r\cos t,r\sin t,z)\quad \nabla g=r\]
\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2z-z^2}}\int_{1}^{2}rdrdzdt=\frac{2}{3}\pi\]
wolfram
En esfericas
\[g:R^3\rightarrow R^3/g(w,t,r)=(r\cos w\cos t,r\cos w\sin t,r\sin w)\quad \nabla g=r^2\cos w\]
\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\frac{1}{\sin w}}^{2\sin w}r^2\cos w drdwdt=\frac{2}{3}\pi\]
wolfram
el segundo lo veo bien mas tarde, pero al parecer esta correcto, me fui a dormir
saludos
(25-01-2012 17:04)matyary escribió: [ -> ]\[Vol = \int^{2\pi}_{0} \int^{1}_{0} \int^{1-\sqrt{1-r^2}}_{0} dzdrdt\]
Acá olvidé poner a \[1\] como límite inferior de \[z\].
(13-02-2012 03:19)Saga escribió: [ -> ]Hola, para el primero de acuerdo con maty, aunque debe haber algun error de signo ya que en coordenadas cilindricas y esfericas me da con signo positivo, y a el con signo negativo
verifica el resultado con wolfram
Igualmente vos acá verificaste mi planteo poniendo el \[1\] que yo me olvidé y sin embargo da negativo. La verdad revisé pero no encuentro el error Jaja
Visto asi a vuelo de pajaro, me parece que tenes un error al completar cuadradados, recorda que la constante del termino cuadratico es negativa, por ahi te confundiste ahi
Consulta matyary...
A mi me quedó así:
\[\phi _{s} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^2} dz r dr d\varphi = 8\pi \]
Luego hice (para restar la tapa):
\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} f(x,y,z) \cdot (0,0,-1) dx dy\]
\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} (1,x,z) \cdot (0,0,-1) dx dy\]
\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} -z r dr d\varphi \]
Pero como \[z = 0\]:
\[\therefore \]
\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} -z r dr d\varphi = 0\]
Entonces resultaria:
\[\phi = \phi _{s} - \phi _{t} = 8\pi - 0 = 8\pi \]
Esto es correcto?
Sí, a simple vista parece estar correcto.