UTNianos

Estaba haciendo ejercicios de inecuaciones y venia haciendolo bien hasta que se me presento este caso

\[\left | x-2 \right |\geq \frac{7}{\left | x+2 \right |}\]

me confunde el tema de tener modulos en ambos lados, intente muchas formas pero en ninguna llegue al resultado.

la solucion es

\[S= \left ( -\infty ,-\sqrt{11} \right ]\cup \left [ \sqrt{11},+\infty \right )\]

pero solo llego a raiz de 11 y raiz de -3. si alguien puede resolver el paso a paso o tirarme una guia lo agradeceria! hasta luego

Upa, parece difícil. La inecuación original se puede descomponer en:

\[-\frac{7}{|x-2|} \geq x-2 \geq \frac{7}{|x-2|}\]

\[2-\frac{7}{|x-2|} \geq x \geq 2+\frac{7}{|x-2|}\]

Ahora analizás por dos partes:

Parte 1:

\[2-\frac{7}{|x-2|} \geq x\]

\[2-x \geq \frac{7}{|x-2|}\]

\[|x-2| \geq \frac{7}{2-x}\]

\[-\frac{7}{2-x} \geq x-2 \geq \frac{7}{2-x}\]

\[\frac{4-2x-7}{2-x} \geq x \geq \frac{4-2x+7}{2-x}\]

\[-\frac{2x+3}{2-x} \geq x \geq \frac{11-2x}{2-x}\]

Conviene multiplicar los tres términos por \[2-x\]

\[-2x-3 \geq 2x-x^2 \geq 11-2x\]

Harás los pasos convenientes para hallar el resultado final. Fijate si te sirve, cualquier cosa avisá.

Parte 2:

\[x \geq 2+\frac{7}{|x-2|}\]

Hacés lo mismo que en el paso anterior hasta llegar al resultado final.


Saludos!

Hola,

La idea es que tengas en cuenta lo siguiente:

Cita:Por propiedad del módulo, sabemos que cuando tenemos una inecuacion del tipo \[|x| > ALGO\] podemos continuar de la siguiente manera, "dividiendo el ejercicio en dos":

\[x > ALGO\] o \[-x > ALGO\]

seguimos resolviendo...

\[x > ALGO\] o \[x < -ALGO\]

Fijate que a partir de la primera expresión, el ejercicio "se divide en dos partes o preposiciones", ambas preposiciones unidas por un "o". Vos tenés que resolver cada una de esas dos preposiciones. Una vez que resuelvas, cada preposición te va a dar como solución un conjunto de números. Fijate nuevamente que las preposiciones están unidas con un "o". Por lo tanto, para averiguar el conjunto solución final, vas a tener que hacer la unión de ambos conjuntos soluciones que averiguaste.

Por lo tanto, en este ejercicio, podés empezar a plantearlo "dividiendo la primera expresión en dos preposiciones":

\[x-2 \geq \frac{7}{|x+2|}\]

o

\[-x+2 \geq \frac{7}{|x+2|}\]

Con el módulo que tenés del otro lado, podés hacer dos cosas:

1) Teniendo en cuenta la siguiente propiedad lo "transformás" en una raíz cuadrada:

\[|x|=\sqrt{x^{2}}\]

2) Despejás ese módulo, con lo cual nuevamente el ejercicio se te va a "dividir" en dos preposiciones más por cada preposición. Una vez que resuelvas todas las preposiciones, es cuestión simplemente de hacer las uniones de los conjuntos soluciones.


Se entiende?

maty, te equivocaste con el signo del modulo de la fraccion, igual ahora me fijo si esta bien

gabo, me quedaria asi cuando despejo?

\[\sqrt{x+2^{2}}\geq \frac{7}{x-2} \vee \sqrt{x+2^{2}}\leq -\frac{7}{x-2}\]

si fuera asi, no es mas comodo dejar el modulo en vez de remplazarlo por la raiz y el cuadrado?

Mil disculpas, me autocorrijo:

Cita:Upa, parece difícil. La inecuación original se puede descomponer en:

\[-\frac{7}{|x+2|} \geq x-2 \geq \frac{7}{|x+2|}\]

\[2-\frac{7}{|x+2|} \geq x \geq 2+\frac{7}{|x+2|}\]

Ahora analizás por dos partes:

Parte 1:

\[2-\frac{7}{|x+2|} \geq x\]

\[2-x \geq \frac{7}{|x+2|}\]

\[|x+2| \geq \frac{7}{2-x}\]

\[-\frac{7}{2-x} \geq x+2 \geq \frac{7}{2-x}\]

\[\frac{-4+2x-7}{2-x} \geq x \geq \frac{-4+2x+7}{2-x}\]

\[-\frac{2x-11}{2-x} \geq x \geq \frac{2x+3}{2-x}\]

Conviene multiplicar los tres términos por \[2-x\]

\[2x-11 \geq 2x-x^2 \geq 2x+3\]

Ahora restas los tres términos por \[2x\]

\[-11 \geq -x^2 \geq 3 \to \sqrt{11} \leq x \leq -\sqrt{3}\]


Parte 2:

\[x \geq 2+\frac{7}{|x-2|}\]

Hacés lo mismo que en el paso anterior hasta llegar al resultado final.


Saludos!

Si hacés la Parte 2 vas a llegar a los resultados que no pudiste obtener.

Ahora sí Jajaja

Saludos!

no me sale, no se en que me equivoco mira

Parte 2
\[\frac{7}{\left | x+2 \right |}\geq 2-x\]

\[\frac{7}{2-x}\geq \left | x+2 \right |\]

\[\frac{7}{2-x}\geq x+2\vee -\frac{7}{2-x}\leq x+2\]

\[\frac{7-4+2x}{2-x}\geq x\vee -\frac{7+4-2x}{2-x}\leq x\]

\[3+2x\geq 2x-x^{2} \vee 11-2x\geq -2x-x^2\]

\[\sqrt{3}\leq x\vee -\sqrt{11}\geq x\]


me quedan iguales... me vuelvo loco jajajaj[/quote]

EDITO: creo que ahi esta bien

Me vas a terminar debiendo algo si sale (?)

A ver, primero que nada tipeaste mal la inecuación que yo puse como Parte 2.

\[x-2 \geq \frac{7}{|x+2|}\]

\[|x+2| \geq \frac{7}{x-2}\]

\[-\frac{7}{x-2} \geq x+2 \geq \frac{7}{x-2}\]

\[-7 \geq (x-2)(x+2) \geq 7 \]

\[-7 \geq x^2-4 \geq 7 \to -3 \geq x^2 \geq 11\]

\[-\sqrt{3} \geq x \geq \sqrt{11} \]

Bueno, me quedó igual que la Parte 1. Dejame pensar nos estamos olvidando de algo.

---

Hay un error de cuentas en una de las dos partes más específicamente de signos. Lo que vos hiciste no es ni una parte ni la otra. Si ponés el signo '-' en uno de los lados, ahí se asemeja a la Parte 2.
Hay que revisar los signos en ambas partes y ver en cual la pifiamos.

---

Encontré el error. Fue un despiste de mi parte. Acá está, si lo unís con la Parte 2 te da el resultado del libro.
Sabé disculpar a un pobre boludo omo yo suelo equivocarme en signos o cositas boludas que hacen cambiar el resultado notablemente.

Cita:Parte 1:

\[2-\frac{7}{|x+2|} \geq x\]

\[2-x \geq \frac{7}{|x+2|}\]

\[|x+2| \geq \frac{7}{2-x}\]

\[-\frac{7}{2-x} \geq x+2 \geq \frac{7}{2-x}\]

\[\frac{-4+2x-7}{2-x} \geq x \geq \frac{-4+2x+7}{2-x}\]

\[-\frac{2x-11}{2-x} \geq x \geq \frac{2x+3}{2-x}\]

\[2x-11 \geq 2x-x^2 \geq 2x+3\]

\[-11 \geq -x^2 \geq 3 \to -\sqrt{11} \leq x \leq \sqrt{3}\]

Saludos y suerte!

EDIT: Problema resuelto.

Una nota: En los casos de la raiz de 3, no es "menos raiz de 3", sino "raiz de menos 3". Raiz de un número negativo no existe, con lo cual esas soluciones se descartan.

PD: Despues pongo la resolución de la otra manera, con esta de maty me mareo jaja.

Me parece un poco complicada la forma que usaron, hay una forma mas facil...

Dado que la el x+2 que esta en el denominador tiene barras de modulo siempre va a ser positivo por lo tanto se puede pasar multiplicando al otro lado sin tener que analizar ninguna otra variante (lo unico que va a ser distinto de -2)

\[\left | x-2 \right | \geq \frac{7}{\left | x+2 \right |}\]

\[\left | x-2 \right | * \left | x+2 \right | \geq 7\]

Por propiedad de modulo se pueden distribuir los mismos....o volver a unir en este caso

\[\left | x^{2}-4\right |\geq 7\]

Despues se hace como un modulo comun quedando

\[x^{2}-4\geq 7 \] \[\veebar \] \[x^{2}-4\leq -7 \]

Resolvemos y queda

\[S = \left ( -\infty ;-\sqrt{11} \right ] \cup [\sqrt{11};+\infty )\]

(31-01-2012 15:56)Diego Pedro escribió: [ -> ]Me parece un poco complicada la forma que usaron, hay una forma mas facil...

Dado que la el x+2 que esta en el denominador tiene barras de modulo siempre va a ser positivo por lo tanto se puede pasar multiplicando al otro lado sin tener que analizar ninguna otra variante (lo unico que va a ser distinto de -2)

\[\left | x-2 \right | \geq \frac{7}{\left | x+2 \right |}\]

\[\left | x-2 \right | * \left | x+2 \right | \geq 7\]

Por propiedad de modulo se pueden distribuir los mismos....o volver a unir en este caso

\[\left | x^{2}-4\right |\geq 7\]

Despues se hace como un modulo comun quedando

\[x^{2}-4\geq 7 \] \[\veebar \] \[x^{2}-4\leq -7 \]

Resolvemos y queda

\[S = \left ( -\infty ;-\sqrt{11} \right ] \cup [\sqrt{11};+\infty )\]

acabo de refrescar algo.

Todos los dias se aprende (o refresca en este caso) algo mas ajajaj

(31-01-2012 15:56)Diego Pedro escribió: [ -> ]Me parece un poco complicada la forma que usaron, hay una forma mas facil...

Dado que la el x+2 que esta en el denominador tiene barras de modulo siempre va a ser positivo por lo tanto se puede pasar multiplicando al otro lado sin tener que analizar ninguna otra variante (lo unico que va a ser distinto de -2)

\[\left | x-2 \right | \geq \frac{7}{\left | x+2 \right |}\]

\[\left | x-2 \right | * \left | x+2 \right | \geq 7\]

Por propiedad de modulo se pueden distribuir los mismos....o volver a unir en este caso

\[\left | x^{2}-4\right |\geq 7\]

Despues se hace como un modulo comun quedando

\[x^{2}-4\geq 7 \] \[\veebar \] \[x^{2}-4\leq -7 \]

Resolvemos y queda

\[S = \left ( -\infty ;-\sqrt{11} \right ] \cup [\sqrt{11};+\infty )\]

Yo lo hago asi, pero osea, en el paso final...

\[x^{2}\geq 11\vee x^2\leq -3\]

\[x\geq \sqrt{11}\vee x\leq \sqrt{-3}\]

estoy haciendo una burrada o me parece? ajajja

(31-01-2012 16:20)Maxe2210 escribió: [ -> ]

(31-01-2012 15:56)Diego Pedro escribió: [ -> ]Me parece un poco complicada la forma que usaron, hay una forma mas facil...

Dado que la el x+2 que esta en el denominador tiene barras de modulo siempre va a ser positivo por lo tanto se puede pasar multiplicando al otro lado sin tener que analizar ninguna otra variante (lo unico que va a ser distinto de -2)

\[\left | x-2 \right | \geq \frac{7}{\left | x+2 \right |}\]

\[\left | x-2 \right | * \left | x+2 \right | \geq 7\]

Por propiedad de modulo se pueden distribuir los mismos....o volver a unir en este caso

\[\left | x^{2}-4\right |\geq 7\]

Despues se hace como un modulo comun quedando

\[x^{2}-4\geq 7 \] \[\veebar \] \[x^{2}-4\leq -7 \]

Resolvemos y queda

\[S = \left ( -\infty ;-\sqrt{11} \right ] \cup [\sqrt{11};+\infty )\]

Yo lo hago asi, pero osea, en el paso final...

\[x^{2}\geq 11\vee x^2\leq -3\]

\[x\geq \sqrt{11}\vee x\leq \sqrt{-3}\]

estoy haciendo una burrada o me parece? ajajja

Lo resuelvo paso a paso a ver si encontras el error

\[x^{2}\geq 11 \veebar x^{2}\leq -3\]

\[\left | x \right |\geq \sqrt{11} \veebar \left | x \right |\leq \underbrace{\sqrt{-3}}\]

Lo que tiene la llave es conjunto vacio ya que no pertenece a los reales la solucion. Por lo tanto queda

\[x\geq \sqrt{11} \cup x\leq -\sqrt{11}\]

Entonces el conjunto solucion es

\[S = \left ( -\infty ;-\sqrt{11} \right ] \cup [\sqrt{11};+\infty )\]

PD: segun veo lo que te olvidaste fueron los modulos cuando despejaste

Ahi estaaaaaa, me estaba olvidando de poner el modulo cuando pasaba la raiz... que gil!. Muchas gracias Diego, gracias gabo y sobre todo a maty que se mato escribiendo jajajaj

Acá hay otra forma:


\[|x-2|\geq \frac{7}{|x+2|}\]

\[\left [x-2\geq \frac{7}{|x+2|} \right ] \vee \left [-x+2\geq \frac{7}{|x+2|} \right ]\]

\[\left [|x+2|\geq \frac{7}{x-2} \right ] \vee \left [|x+2|\geq \frac{7}{-x+2} \right ]\]

\[\left [x+2\geq \frac{7}{x-2} \vee -x-2\geq \frac{7}{x-2} \right ] \vee \left [x+2\geq \frac{7}{-x+2} \vee -x-2\geq \frac{7}{-x+2} \right ]\]

\[\left [(x+2)(x-2)\geq 7\ \vee (-x+2)(x-2)\geq 7\ \right ] \vee \left [(x+2)(-x+2)\geq 7\ \vee (-x-2)(-x+2)\geq 7 \right ]\]

\[\left [{\color{Green} x^{2}-4\geq7} \ \vee {\color{Blue} -x^{2}+4\geq7} \ \right ] \vee \left [{\color{Blue} -x^{2}+4\geq7} \ \vee {\color{Green} x^{2}-4\geq7} \right ]\]

Nos quedan dos pares de inecuaciones idénticas, así que solamente resolvemos uno de esos pares y descartamos el otro.

\[x^{2}\geq11 \ \vee x^{2}\leq-3\]

\[\left [|x|\geq\sqrt{11} \ \right ] \vee \left [|x|\leq\sqrt{-3} \right ]\]

La raiz de un número negativo no es un número real, por lo tanto descartamos esta posibilidad.

\[|x|\geq\sqrt{11} \to x\geq\sqrt{11} \ \vee -x\geq \sqrt{11}\]

\[x\geq\sqrt{11} \ \vee x\leq-\sqrt{11}\]

\[S = \left ( -\infty ;-\sqrt{11} \right ] \cup [\sqrt{11};+\infty )\]