Siendo:

\[f(x,y,z) = (2y - x, x, z)\]

Te piden calcular el flujo a través del plano de ecuación:

\[3x + 6y + 2z = 6\]

(y por enunciado, se restringe lo pedido al primer octante)

Por definición, el flujo será:

\[\phi = \iint_{S} f\cdot n\cdot dS\]

Siendo n la normal a la superficie sobre la cual vamos a calcular el flujo, y el diferencial de superficie:

\[dS = \frac{\left \| \bigtriangledown F \right \|}{|F`z|}dx dy\]

Siempre y cuando trabajemos proyectando sobre le plano XY.

Volviendo a la expresión de flujo:

\[\phi = \iint_{R} f\cdot \frac{\bigtriangledown F}{\left \| \bigtriangledown F \right \|}\cdot \frac{\left \| \bigtriangledown F \right \|}{|F`z|}dx dy\]

Los módulos del gradiente se simplifican:

\[\phi = \iint_{R} f\cdot \bigtriangledown F\cdot \frac{1}{|F`z|}dx dy\]

Definimos una función F la cual tendrá como superficie de nivel cero a nuestro plano:

\[F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}/3x + 6y + 2z -6 = 0\]

Su gradiente será:

\[\bigtriangledown F(x,y,z) = (3,6,2)\]

y \[|F`z| = 2\]

Ahora, como estamos proyectando sobre el plano XY, debemos obtener Z en función de X y de Y, eso lo hacemos a partir de la ecuación del plano:

Si \[3x + 6y + 2z -6 = 0\]

\[z = 3 -3y -\frac{3}{2}x\]

Volviendo al flujo y haciendo los reemplazos necesarios:

\[\phi = \iint_{R} f(x,y,3 -3y -\frac{3}{2}x)\cdot(3,6,2)\cdot \frac{1}{2}dx dy\]

Evaluando a f en las coordenadas que nos solicitan:

\[\phi = \iint_{R} (2y-x,x,3 -3y -\frac{3}{2}x)\cdot(3,6,2)\cdot \frac{1}{2}dx dy\]

Haciendo el producto escalar:

\[\phi = \iint_{R} (6y - 3x + 6x + 6 - 6y - 3x) \frac{1}{2}dx dy\]

\[\phi = \iint_{R} 3dx dy\]

Para terminar, haciendo Z=0 obtenemos la proyección del plano sobre XY, lo cual nos sirve para hallar los limites de integración.

Obtendremos lo siguiente:

\[y = 1 - \frac{1}{2}x\]

Entonces:

\[\phi = \iint_{R} 3dx dy = 3\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{1 - \frac{1}{2}x}dy = 3\]