Para el c)
Bien el razonamiento del An, pero con las integrales en realidad llegas a esto:
Se parte de:
\[a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(t)cos(2nt)dt\]
Por equivalencia trigonometrica:
\[a_{n}=\frac{2}{\pi}\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}[cos(t-2nt)+cos(t+2nt)]dt\]
Acomodando un poco:
\[a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}[cos((1-2n)t)+cos((1+2n)t)]dt\]
Resolviendo la integral:
\[a_{n}=\frac{1}{\pi}\left [\frac{sen((1-2n)t)}{1-2n} + \frac{sen((1+2n)t)}{1+2n}\right]_{0}^{\pi}\]

Que entre cero y pi termina dando 0, por ende es verdadero.


Para el d)
No podes aplicar la segunda propiedad de la traslación, las hipotesis dicen que:
\[\textup{Si:} L\left\{f(t)\right\}=F(s) \wedge g(t)=\begin{cases}f(t-a) & \text{ si } t>a \\ 0 & \text{ si } t<a \end{cases}\]

Que en este caso no se está cumpliendo, fijate que el enunciado dice para t>0, y no coincide con la traslación que tenes en la función.


Y para el e)
Es como decis, se puede aproximar por el limite ya que es una discontinuidad en un único punto.

Saludos