Hola, no se bien ahora si en la cursada le dan mucha bolilla al téma de los infinitésimos, o si la dan muy por arriba, son muy útiles a la hora de resolver límites complicados, ya que en pocos pasos se puede llegar a la solución, dejo algunas propiedades y algunos infinitésimos para el que le sirva

Definición Se define una función infinitesimal \[\varphi(x)\] a aquella función que en un entorno del punto A, su límite tienda a 0

Comparación de infinitésimos Sean los siguientes infinitésimos

\[2x\quad 3x\quad x^2\quad x^3\quad a=0\]

a) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{3x}{2x}}=\dfrac{3}{2}\]

b) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{x^2}{x}}=0\]

c) \[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{x^2}{x3}}=\infty\]

Si el límite del cociente de dos infinitésimos da por resultado:

a) Un número distinto de 0, significa que ambos tienden a 0 aproximadamente con la misma rapidez, se dice que los infinitésimos son del mismo orden, en particular si el número obtenido es 1, se dice que los infinitésimos son equivalentes en el entorno de A, y por tal razón uno es sustituible por el otro en dicho entorno

b) Un número igual a 0, significa que el númerador tiende a 0 más rápido que el denominador, se dice que el númerador es un infinitésimo de orden superior al denominador

c) Infinito significa que el númerador tiende a 0 más lentamente que el denominador, se dice que el denominador es un infinitésimo de orden superior al númerador

Propiedades

1) La suma, resta y/o producto de dos infinitésimos en A es otro infinitésimo en A

2) El producto de una constante por un infinitésimo en A es otro infinitésimo en A

3) El producto de un infinitésimo en A por una función acotada en un entorno de A es otro infinitésimo en A

4) \[\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L\Longleftrightarrow{f(x)=L+\varphi(x)/\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\varphi(x)}=0}\]

Estas propiedades se pueden usar para las demostraciones del álgebra de límites

Infinitesimos equivalentes Se usa únicamente en cocientes, los mas conocidos

Si \[x\longrightarrow{0}\] entoncés son equivalentes las siguientes expresiones

\[\\sen (f(x))\sim{f(x)}\\\\tg (f(x))\sim{f(x)}\\\\arcsen (f(x))\sim{f(x)}\\\\arctg( f(x))\sim{f(x)}\\\\e^{f(x)}-1\sim{f(x)}\\\\ ln (f(x)+1)\sim{f(x)}\\\\1-\cos (f(x))\sim{\dfrac{f(x)^2}{2}}\]

y muchas más, estan son las mas utilizadas

Ejemplo Hallar el límite de:

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(1+sen(4x))}{tg x}}\]

Sabemos que

\[\ln(1+sen(4x))\sim{sen(4x)\sim{4x}}\wedge tg (x)\sim{x}\Longleftrightarrow{x\longrightarrow{0}}\]

entoncés

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(1+sen(4x))}{tg x}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{4x}{x}}=4\]

Resultado que pueden verificar utilizando L'hopital, así se puede operar con otros límites mas complicados

saludos

Se agradece el aporte
Infinitesimos los vimos hace un par de clases.

Hola, te vengo a agradecer esto, lo vi hace rato pero recién ahora lo voy a aplicar :B
En mi cursada solo nos dieron la de sen x = x....

En fin mucha bola no le dieron, gracias.

Hola Feer que bueno que te sirva, ahh como consejo no te los olvides, también sirven para análisis 2 cuando vés límites en varias variables, solo hay que tener cuidado en su aplicación los infinitésimos que puse ahí son validos si y solo si x tiende a 0 si es otro valor de x.... fué, pero por lo general siempre aparecen esos que postee en parciales y finales, te son útiles si te restringen a aplicar l'hopital, hasta ahora no vi un parcial o final en que la restricción sea "no use infinitesimos", en fin lastima que no se le de mucha bolilla en la cursada.

saludos

(06-05-2011 15:58)aoleonsr escribió:  Hola Feer que bueno que te sirva, ahh como consejo no te los olvides, también sirven para análisis 2 cuando vés límites en varias variables, solo hay que tener cuidado en su aplicación los infinitésimos que puse ahí son validos si y solo si x tiende a 0 si es otro valor de x.... fué, pero por lo general siempre aparecen esos que postee en parciales y finales, te son útiles si te restringen a aplicar l'hopital, hasta ahora no vi un parcial o final en que la restricción sea "no use infinitesimos", en fin lastima que no se le de mucha bolilla en la cursada.

saludos

Igual creo que te lo van a hacer demostrar...
Hoy le pregunte a mi profesor si podía usar otra equivalencias de infinitesimos en funciones y me pregunto como cuál?
Yo le respondí las mas raras, la que esta la potencia y la logarítmica y me dijo que las demuestre...
De todas formas me dijo que el quiere que resolvamos ejercicios y no le importa como llegamos asi que no creo tener problemas.

Hola

(06-05-2011 20:59)Feer escribió:  Igual creo que te lo van a hacer demostrar...
Hoy le pregunte a mi profesor si podía usar otra equivalencias de infinitesimos en funciones y me pregunto como cuál?
Yo le respondí las mas raras, la que esta la potencia y la logarítmica y me dijo que las demuestre...
De todas formas me dijo que el quiere que resolvamos ejercicios y no le importa como llegamos asi que no creo tener problemas.

Epa, podes aplicar la teoría dada en la cursada, los teoremas dados en la cursada, y las definiciones dadas en la cursada, la teoria que deje no es sacada de ningún libro, es la que me la dio Alba Gregoret, o sea nada inventado por mi o visto en algun libro que no sea de la cursada.

Una forma de demostración rápida puede ser, voy a aplicar todos los conceptos de la cursada y la teoría que dan nada del otro mundo por ejemplo, sabemos que

\[\ln(x^2+1)\sim x^2\Longleftrightarrow{x\longrightarrow{0}}\]

por la teoría de infinitésimos: sabemos que si el límite de dos infinitesimos en los alrededores de A es igual a 1, entoncés un infinitesimo es reemplazable por otro en dicho entorno. Es decir se cumple que

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(x^2+1)}{x^2}}=1\]

Tenemos que demostrar que ese límite valga 1, fijate que el numerador tiende a cero y el denominador también tiende a cero, tenemos una indeterminación del tipo \[\dfrac{0}{0}\], se cumplen las hipótesis y las condiciones para aplicar el teorema de L'hopital entonces

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{ln(x^2+1)}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\dfrac{2x}{(x^2+1)}}{2x}}=1\]

Como se cumple la parte a) sobre comparación de infinitésimos entoncés, dicho en "criollo" a la función logaritmo la "vuelo" y en su lugar pongo la función \[x^2\].

Como veras no use nada que no se de en la cursada, nada raro solo teoria jeje, solo un detalle esta es una "especie de pseudodemostración rápida" la demostración formal (que no creo que te pidan) es un poco mas complicada, asi como se demostro la equivalencia del \[\dfrac{sen(x)}{x}\] de la misma manera se hace con los demas infinitesimos, pero para la cursada a mi me sirvio la demostración que puse

Seguramente te estaba pidiendo eso tu profesor, para saber si entendias de donde salia ese reemplazo, de todas formas si te dijo que el quiere los resultados sin importar como llegues .......cualquier duda

saludos

"Igual creo que te lo van a hacer demostrar..."
Tipeando pifié...
Era: creo que "me" lo van a hacer demostrar jajaja....

Si entendi bien, no le veo tanta dificultad igual no creo que tome de estos... siente amor por los ejercicios llenos de raices xd...
Gracias!

Jaja y podes usar infinitesimos tambien ahi , si si las raices también tienen sus equivalencias, los infinitésimos, si no me falla la memoria los podes deducir aplicando el teorema del valor medio, como te dije nada que no se dio en la cursada, ahora no se me ocurre ninguno

che posta que estoy esta muy buneo

Che saguis, si tenemos:

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{lnx}{x}}\]

Con x tendiendo a cero por derecha..... que me da?

y....

\[\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{x}\cdot \ln x\]

aplicando limites

\[\lim_{x->0^+}\underbrace{\frac{1}{x}}_{\infty}}\underbrace{\cdot \ln x}_{-\infty}=-\infty\]

no entendi la propiedad 4, o sea

el limite de f(x) es L sii

f(x)= L + (phi(x)/(lim x->a phi(x))) = 0

o sea, f(x) = 0 y L = -(phi(x)/(lim x->a phi(x)))

f(x) y phi(x) son infinitesimos equivalentes?

PD: muy bueno tu apunte!!! me viene fenomeno, no hay mucha bibliografia de infinitesimos

EDIT

encontre algo parecido

lim f(x) = L <=> lim f(x) - L = 0
x->a