El ejercicio va asi:

Siendo F la familia de curvas ortogonales a las lineas de nivel K de \[\Phi (xy) = x.y^{3}-x+5\]
Halle la ecuacion de la curva \[C\epsilon F\] que pasa por el punto (3,1)

No se ni como arrancar

(llamo g a esa función que pusiste ahi, solo por comodidad en notación)

\[g(x,y)=xy^3-x+5\]

Por definicion de curvas de nivel tenes que

\[g(x,y)=xy^3-x+5=k\]

por derivacion implicita obtenes

\[y^3+3xy^2y'-1=0\to y'=\frac{1-y^3}{3xy^2}\]

reemplaza

\[y'=-\frac{1}{y'}\]

hechos los pasajes necesarios, salvo error, tenes que integrar

\[-\int 3x dx=\int\frac{1-y^3}{y^2}dy\]

Joya! Gracias!!!!

Hice lo siguiente
\[-3x dx = (1-y^{3})/y^{2} dy\]

\[-\frac{3}{2}x^{2} + C = -2y^{-3} -1\] SG

La SP en (3,1) me dio

\[-\frac{3}{2}x^{2} + \frac{21}{2} = -2y^{-3} -1\]

Por si alguien la necesita

Creo que te equivocaste al integrar, la primitiva es

\[-\frac{3}{2}x^2=-\frac{y^2}{2}-\frac{1}{y}+C\]

evaluando en el punto C=-12, acomodando un poco los terminos, f esta definida implicitamente por

\[y^3-24y-3x^2y+2=0\]

Que dormido! Asi es como reprobe la semana pasada!

Gracias!!