19) dado el haz de planos

\[\alpha (x-2y+z-1) + \beta(x-z+3) = 0\]

c)tiene ordenada al origen -2

no se que hacer

gracias

Del haz de planos que tenes

\[\pi: \alpha(x-2y+z-1)+\beta(x-z+3)=0\]

te piden el plano del haz, que tenga ordenada al orígen igual a -2, distribuyendo y acomodando un poco los terminos, salvo error, tenés que

\[\pi: (\alpha+\beta)x-2\alpha y+(\alpha-\beta)z+3\beta-\alpha=0\]

cuya normal es \[n=(\alpha+\beta,2\alpha,\alpha-\beta)\]

Expresa \[\pi\] en su forma segmentaria, e iguala la ordenada de dicho plano al valor que te dan en el enunciado, en el plano o la normal

---

Edit Más simple, ahora que se me ocurrio, si expresamos el plano como

\[\pi: (\alpha+\beta)x-2\alpha y+(\alpha-\beta)z=-3\beta+\alpha\]

De donde sabes que, si tiene ordenada al orígen igual a -2 entonces \[x=z=0\], solo queda resolver

\[-2\alpha y=-\beta+\alpha\], operando de manera conveniente e igualando a lo que te dan como dato, obtenes el plano buscado, y nos evitamos segmentarias y cosas raras

con la segmentaria me dio

alfa = - beta

y me quedo perfecto

con la otra hice

- 2 ( - 2 alfa ) = alfa - 3 beta

y me quedo perfecto

gracias

19) dado el haz de planos

\[\alpha (x-2y+z-1) + \beta(x-z+3) = 0\]

d) es paralelo al plano 2x - y + z + 2 = 0

n = (2,-1,1)

\[ (\alpha + \beta, -2 \alpha, \alpha - \beta) = k (2,-1,1)\]

y no me sale

EDIT

ok llegue a alfa = 3 beta

me queda 2x - 3y + z = 0

n = (2,-3,1)

pero no me quedo paralelo al otro plano

y en la guia no aparece la respuesta

El sistema asociado es

\[\\\alpha+\beta=2k\quad (1)\\-2\alpha=-k\quad (2)\\\alpha-\beta=k\quad (3)\]

operando (2) y (3) (o de la manera que vos elijas) y reemplazando en (1) el SI, entonces no existe el plano que pertence al haz que sea paralélo al dado

ah, con razon

yo habia operado 1 y 3 y me quedo

\[2 \beta = k\]

entonces

\[\alpha - \beta = 2 \beta\] por (3)

\[\alpha = 3 \beta \]

entonces

4x - 6y + 2z = 0

2x -3y + z = 0

n = (2,-3,1) que no es paralelo al plano

como sabes cuando no puede ser paralelo?

Pasa que tenes un error, usaste (1) y (3) y te olvidaste verificar en (2) si realmente se verificaba la cuenta

\[k=2\beta\quad \alpha=3\beta\rightarrow\mbox{ en } (2)\quad 6\beta=2\beta\]

es un absurdo, lo ves??

rihardmarius escribió:como sabes cuando no puede ser paralelo?

Analiticamente, cuando el sistema asociado a la definicion de vectores paralelos no tiene solucion.

excelente, gracias

Estuve buscando este ejercicio y no lo pude encontrar en ningún lado, hasta que apareció yahoo respuestas , los estuve haciendo y coincidieron todos los resultados. Lo pego aca para cualquiera que lo necesite!

Link: http://ar.answers.yahoo.com/question/ind...223AA8Wmgf

Sea el haz de planos, cuya ecuacion es:

a(x-2y+z-1)+b(x-z+3)=0 con a,b pertenecientes a los reales.

Determine el plano haz que:
1)Pasa por el origen de coordenadas.
2)Es paralelo al eje de cotas.
3)Tiene ordenada al origen -2.
4)Es paralelo al plano 2x-y+z+2=0


Respuesta:

a(x-2y+z-1)+b(x-z+3)=0
(a + b) x - 2a y + (a - b) z + (- a + 3b) = 0

1) Para que el plano pase por el origen de coordenadas debe verificar que el punto (0,0,0) pertenezca al plano, entonces:
(a + b) . 0 - 2a .0 + (a - b) .0 + (- a + 3b) = 0
de donde se obtiene que - a + 3b = 0; entonces a= 3b
(3b + b) x - 2.3b y + (3b - b) z + (- 3b+ 3b) = 0
4b x - 6b y + 2b z = 0
Todos los planos que son múltiplos de 4x - 6y + 2z = 0

2) Para que sea paralelo al eje de cotas
(a + b) x - 2a y + (a - b) z + (- a + 3b) = 0 debe verificar no tener variable z, entonces a - b = 0, por lo tanto, a = b
(b + b) x - 2b y + (b - b) z + (- b + 3b) = 0
2b x - 2b y + 2b = 0
Todos los planos que son múltiplos de 2x - 2y + 2 = 0


3Para que tenga ordenada al origen -2, debe pasar por el punto (0, -2, 0), entonces
(a + b) . 0 - 2a . (-2) + (a - b) .0 + (- a + 3b) = 0
- 2a . (-2) + (- a + 3b) = 0
4a-a + 3b = 0
3a + 3b = 0
a = -b
(-b + b) x - 2.-b y + (-b - b) z + (- -b + 3b) = 0
0.x + 2b y - 2b z + 4b = 0
2b y - 2b z + 4b = 0
Todos los planos que son múltiplos de 2y - 2z + 4 = 0

4) Para que el plano sea paralelo al plano 2x - y + z + 2 = 0;
(a + b) x - 2a y + (a - b) z + (- a + 3b) = 0 debe verificar simultáneamente:
a + b = 2k........(1)
-2a = -k............(2)
a - b = k...........(3)

De (2) sale k = 2a
En (3) queda a - b = 2a , por lo tanto - a = b y
En (1) queda a + (-a) = 2k, entonces k = 0 por lo tanto a = 0 y b = 0, pero en este caso no tiene sentido, pues no queda plano, entonces no existen valores de a, b y k para que los planos sean paralelos

Lo hubieras subido y te ayudabamos a resolverlo!!!!
Se agradece el aporte

Gracias por el aporte, con eso ya estaria completo el ejercicio 19, los items c y d estaban en el foro, como dijo fir podias preguntar antes por los que no te salian e intentabamos ayudarte, [/align]unifico todos los th en uno solo asi sirve mas al que lo necesite

Una forma mas facil es si sacas la ecuacion reducida del haz de planos, asi te queda (a+1)x +(-2a)+(a-1)z+(-a+3)=0

entonces te queda 4a -a+3=0
a = -1

yreemplazas y te queda 2y -2z +4=0 que es y-z+2=0