Ayuda con matriz asociada que no cazo una :P Gracias!

Dada la transformación lineal \[T: R^3 \rightarrow R^2\] cuya matriz asociada es M(T)BB' = \[\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\]
con B={(1,1,1),(0,1,0),(0,3,1)} y B'={(1,1),(v)}

a) Hallar la base B' sabiendo que T(1,1,1)=(1,2)
b) Determine la dimensión del nucleo justificando su respuesta.

Respeto a la parte b), se podrá sacar sabiendo que las columnas de la matriz asociada es la Im(T)? Habría que fijarse si los vectores son LI y de ahí aplicar el teorema de la dimensión para determinar la dim del Nu(T). Puede ser?

Y una duda aparte.. cómo puedo determinar la expresión analítica a partir de la matriz asociada? con [T(x)]B' = M(T) . [(v)]B sirve?

Gracias.

Tenes dos caminos el primero, expresar el (1,1,1) como combinacion lineal de la base B, hechas las cuentas obtenes que las coordenadas son

\[\alpha=1\quad \beta=\gamma=0\]

multiplicando esas coordenadas por la matriz obtenes las coordenadas (2,1)

Luego

\[T(1,1,1)=2(1,1)+1(a,b)=(1,2)\]

a y b son las componentes del vector que nos falta para formar la base que nos piden, te queda un sistema de ecuaciones que no creo te represente inconvenientes.

El otro camino, es hallar la expresión analitica tomando un vector (x,y,z) y planteando la combinacion lineal con la base B, hechas las cuentas

\[\alpha=x\quad\beta=2x-y-3z\quad\gamma=-x+z\]

multiplica esa coordenadas por la matriz, luego hay que aplicar T sobre el vector elegido para hallar la expresion analitica de T

\[T(x,y,z)=(3x+y-2z)(1,1)+(5x+2y-6z)(a,b)\]

ahora te dan como dato que el transformado del (1,1,1) reemplaza esas componentes en la expresion analitica

\[T(1,1,1)=(2)(1,1)+(1)(a,b)=(1,2)\]

como veras de una forma u otra el resultado es el mismo, respecto a tu pregunta

gan escribió:Respeto a la parte b), se podrá sacar sabiendo que las columnas de la matriz asociada es la Im(T)? Habría que fijarse si los vectores son LI y de ahí aplicar el teorema de la dimensión para determinar la dim del Nu(T). Puede ser?

es correcto