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AM I - FInal 30/07/2015
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fnliendomolina Sin conexión
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Mensaje: #1
AM I - FInal 30/07/2015 Finales Análisis Matemático I
Hola Gente! Subo el final que tomaron de Analisis I el 30/07.
Me fue mal, pero la próxima sera.

Saludos!

https://drive.google.com/file/d/0B1w9BR9...sp=sharing
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31-07-2015 01:01
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Mensaje: #2
RE: AM I - FInal 30/07/2015
para mi fue dificil, aprobe no se como.
31-07-2015 02:16
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rockstiff Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: AM I - FInal 30/07/2015
Yo aprobe de suerte (3er intento). Fue largo, y me cago la vida que agregaran los datos en el 4 que ya lo tenia hecho y me termino quedando mal despues. Lo que tuve mal fueron los errores en el 2 y el 5 ademas. A estudiar AMII para rendir a fin de año ahora.
31-07-2015 08:47
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Damianx Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: AM I - FInal 30/07/2015
En el aula en la que estuve, nos dijeron que en el ejercicio 4) f ' (0) = 1 y f ''(0) = 1, a ustedes les dijeron otra cosa?
31-07-2015 11:11
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viktorxD Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: AM I - FInal 30/07/2015
¿Alguien sabe cómo se hace El 2b) y 5b) ?

1a) VERDADERO
g(0)=0, El limite también da 0 por ser infinitésimo por acotada

1b) La suma de la Serie: \[S=\lim_{n \to \infty} Sn\]

Aplicando límite en todos los miembro, si da lo mismo tanto en la izquierda como en la derecha se puede aplicar T.I: Teorema de Intercalación (Sandwich)

\[\lim_{n \to \infty}\frac{2n^3+1}{4n^3-1}+\frac{1}{2}\leq \lim_{n \to \infty} Sn\leq \lim_{n \to \infty}(\frac{ (n^2+3}{n^2+1})^{n}\]


En la izquierda: Cociente de polinomios del mismo grado, el Límite da el cociente entre los coeficientes principales + 1/2
En la derecha tenemos \[(\rightarrow 1)^{(\rightarrow\infty)} \], que hay que llevarlo a la forma del límite e:

..........................................\[\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\]


IZQUIERDA: \[\lim_{n \to \infty}\frac{2n^3+1}{4n^3-1}+\frac{1}{2}=>\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1\]



DERECHA: \[\lim_{n \to \infty}(\frac{n^2+3}{n^2+1})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(\frac{(n^2+1)+3-1}{n^2+1})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{2}{n^2+1})^{n}\]


\[=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{n*\frac{n^2+1}{2}*\frac{2}{n^2+1}}\]


\[=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{\frac{n^2+1}{2}^{\frac{2n}{n^2+1}}}\]


\[=>e^{\lim_{n \to \infty \frac{2n}{n^2+1}}}=> e^0=1\]




Entonces
\[1\leq \lim_{n \to \infty} Sn\leq 1\]


Por lo tanto

\[S= \lim_{n \to \infty} Sn=1\]

La serie es Convergente, Su suma da 1 y como es convergente, cumple la condición necesaria:

\[\lim_{n \to \infty} an=0\]


Entonces FALSO


2a)

Aproximación Lineal, o Polinomio de Taylor de 1er Grado

\[f(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)\]

En este caso la función que se quiere aproximar es:

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}\]

alrededor de 8, xo=8

\[f(8)=\sqrt[3]{8^2}=4\]

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} => f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\]

\[f'(8)=\frac{2}{3}8^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}*\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{3}\]

La ecuación de la aproximacion lineal queda:

\[f(x)= 4+\frac{1}{3}(x-8)\]

Entonces el valor aproximado es

\[f(8,2)\approx 4+\frac{1}{3}(8,2-8)\approx 4+\frac{1}{3}0,2\approx 4,066666\]

Que es bastante cercano al de la calculadora: 4,066391931

El diferencial de una función mide cuánto se incrementa la ordenada de la recta tangente de una función, al pasar del punto de tangencia a otro cercano

En el gráfico sería la altura del triángulo que se forma marcando el punto (xo,f(xo)) y (xo+deltax,f(xo*+deltax) sobre la recta tangente

tg(alfa)= Altura/base

La tangente del angulo es la pendiente, que es la derivada
dy=f'(x).dx

3a) \[Df= R\] ,

ASINTOTAS

No hay A.V, porque no hay problemas con el Dominio.

A.H

\[\lim_{x \to \infty} x*e^{-x^2}\]

Vale tanto para \[+\infty\] como para \[-\infty\] por el elevado al cuadrado.

\[\lim_{x \to \infty} \frac {x}{e^{x^2}}=>\frac {\rightarrow \infty}{\rightarrow\infty}\] , Se puede aplicar L'Hopital

\[\lim_{x \to \infty} \frac {1}{e^{x^2}*2x}=>L=0\]


A.H para \[+\infty\] y \[-\infty\]: y=0.

al Haber A.H no hay A.O


EXTREMOS

\[{f}'(x)= e^{-x^2}+x*e^{-x^2}*(-2x)\]

\[{f}'(x)= e^{-x^2}(1-2x^2)\]

\[{f}'(x)=0\]

\[e^{-x^2}(1-2x^2)=0\]

\[1-2x^2=0\]

\[|x|=\sqrt\frac{1}{2}\]


\[x=\sqrt\frac{1}{2}\vee x=-\sqrt\frac{1}{2}\]

Para ver si son máximos o mínimos conviene el criterio de la derivada primera...

donde f'(x)>0 f crece, f'<0 f decrece

\[{f}'(x)= e^{-x^2}(1-2x^2)>0\]

\[e^{-x^2}>0\] siempre positivo

\[1-2x^2>0\]

\[-2x^2>-1\]

\[x^2<\frac{-1}{-2}\] ,OJO que invierte desigualdad


\[|x|<\frac{\sqrt2}{2}\]

Entonces intervalo donde f crece: \[(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\]

y f decrece en: \[(-\infty,-\frac{\sqrt2}{2})\cup (\frac{\sqrt2}{2},+\infty)\]


Por lo tanto
como por izquierda de \[-\frac{\sqrt2}{2}\] venia decreciendo y luego empezó a crecer

\[x=-\frac{\sqrt2}{2}\] es un mínimo

Mismo análisis y se llega a que \[x=\frac{\sqrt2}{2}\] es un Máximo

INFLEXION

\[f''(x)=0\]

\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*(1-2x^2)+e^{-x^2}*(-4x)\]

puedo sacar factor comun \[-2x.e^{-x^2}\]

\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*((1-2x^2)+2)\]

\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*(-2x^2+3)\]


entonces, igualando a 0 para sacar los valores:

\[e^{-x^2}(-2x)*(-2x^2+3)=0\]


\[-2x=0\]
\[x=0\]


\[-2x^2+3=0\]

\[x^2=\frac{-3}{-2}\]

\[|x|=\sqrt\frac{3}{2}\]


\[x=0 \vee x=\sqrt\frac{3}{2} \vee x=-\sqrt\frac{3}{2}\]

Y comprobarías que son puntos de inflexión o no evaluandolos en la derivada 3ra y que de distinto de 0, o viendo si cambia o no el signo de la derivada segunda

el gráfico en wolphram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=inf...%5E2%29%29


4)

\[F(0)= \int_{0}^{2*0^2+5*0}e^{f(t)}dt=\int_{0}^{0}e^{f(t)}dt=0\]

=>F(0)=0

\[F'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{0}^{2x^2+5x} e^{f(t)}dt=> F'(x)= e^{2x^2+5x}*(4x+5)\]



\[F'(0)= e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)=e^0*5=5\]

=>F'(0)=5



\[F''(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}*(4x+5)]\]

=>\[F''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)*(4x+5)+e^{2x^2+5x}*4=e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]\]

\[F''(0)= e^{2*0^2+5*0}((4*0+5)^2+4)=e^0*(5^2+4)=29\]

=> F''(0)=29


\[F'''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]]=e^{2x^2+5x}(4x+5)*[(4x+5)^2+4]+e^{2x^2+5x}[2(4x+5)*4]\]

\[F'''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)[[(4x+5)^2+4]+8(4x+5)]\]



\[F'''(0)=e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)[[(4*0+5)^2+4]+8(4*0+5)]=1(5)[[(5)^2+4]+8(5)]= 5[29]+40=145+40=185\]

=> F'''(0)=185

El polinomio de Taylor en x=0 de grado 3 de F(x) sería:

\[T(x)=F(0)+F'(x)x+\frac{F''(x)}{2!}x^2+\frac{F'''(x)}{3!}x^3\]

\[T(x)=0+5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\]

\[T(x)=5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\] FIN.


5a)


\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{(n+1)2^n}}|=>\lim_{n \to \infty}|\frac{\sqrt[n]{x^n}}{\sqrt[n]{(n+1)}*\sqrt[n]{2^n}}|<1=>\]

\[=>\lim_{n \to \infty} |\frac{x}{\sqrt[n]{n+1}*2}|<1=>|\frac{x}{1*2}|<1=>|x|<2=>-2<x<2\]

hasta el momento sabemos que en el intervalo de convergencia sería (-2,2)
faltan evaluar los extremos, no hace falta evaluar los dos extremos, ya que solo piden que demostremos que es CV en el extremo inferior

o sea en x=-2.

Nos pide demostrar. ES CV, no les puede dar que no es

vamos a hacerlo.

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{(n+1)*2^n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{-2}{2})^n}{(n+1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)}\]

Tenemos una serie alternada, hay que ver si se cumple Leibniz

i)\[\lim_{n \to \infty } an =0\]

ii) terminos decrecientes.... \[a_{n+1}<a_{n} \] o lo que es lo mismo \[a_{n-1}>a_{n} \]


\[i) \lim_{n \to \infty } \frac{1}{(n+1)}=0\]


\[ii) n<n+1\]

damos vuelta, y se invierte la desigualdad
\[\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\]

y llegamos a: \[a_{n-1}> an\]

Se cumple i) y ii) Entonces CV para x=-2, -2 pertenece al intervalo de convergencia. DEMOSTRADO







(31-07-2015 11:11)Damianx escribió:  En el aula en la que estuve, nos dijeron que en el ejercicio 4) f ' (0) = 1 y f ''(0) = 1, a ustedes les dijeron otra cosa?

En el de él lo mismo si , si miras la imagen

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 31-07-2015 15:47 por viktorxD.)
31-07-2015 11:12
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Mensaje: #6
RE: AM I - FInal 30/07/2015
lo subo al foro directamente para no tenerlo en servidores externos , gracias por el aporte

   

31-07-2015 11:53
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Mensaje: #7
RE: AM I - FInal 30/07/2015
ALGUNO save como hacer el 2 ??

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31-07-2015 15:46
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Mensaje: #8
RE: AM I - FInal 30/07/2015
la parte a unicamente hice, tenes que usar la formula de aproximacion lineal
primero identificas la funcion, en este caso x^(2/3), buscas un valor de x para el cual sepas el resultado, osea 8, sacas la variacion de x que es 8,2 - 8.
ahora derivas la funcion y resolves esta ecuacion:
Xo = 8
variacion = 0,2;
f(Xo + variacion) = f '(Xo)*variacion + f(Xo).
te da algo de 4,066

el grafico no se si esta bien, lo que hice yo fue graficar la funcion, la recta tangente en 8 y marcar la separacion entre la funcion en 8,2 y la recta tangente en 8.
31-07-2015 21:12
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Mensaje: #9
RE: AM I - FInal 30/07/2015
(31-07-2015 08:47)rockstiff escribió:  Yo aprobe de suerte (3er intento). Fue largo, y me cago la vida que agregaran los datos en el 4 que ya lo tenia hecho y me termino quedando mal despues. Lo que tuve mal fueron los errores en el 2 y el 5 ademas. A estudiar AMII para rendir a fin de año ahora.

Si, ese ejercicio me jodió la vida, me paso lo mismo que a vos. Termine haciendo 2 puntos bien y me falto medio punto para aprobar... Mala suerte...

(31-07-2015 11:53)Saga escribió:  lo subo al foro directamente para no tenerlo en servidores externos , gracias por el aporte

De nada! Lo voy a tener en cuenta para futuros aportes.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 02-08-2015 00:51 por fnliendomolina.)
02-08-2015 00:50
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Mensaje: #10
RE: AM I - FInal 30/07/2015
(31-07-2015 11:12)viktorxD escribió:  4)

\[F(0)= \int_{0}^{2*0^2+5*0}e^{f(t)}dt=\int_{0}^{0}e^{f(t)}dt=0\]

=>F(0)=0

\[F'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{0}^{2x^2+5x} e^{f(t)}dt=> F'(x)= e^{2x^2+5x}*(4x+5)\]



\[F'(0)= e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)=e^0*5=5\]

=>F'(0)=5



\[F''(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}*(4x+5)]\]

=>\[F''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)*(4x+5)+e^{2x^2+5x}*4=e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]\]

\[F''(0)= e^{2*0^2+5*0}((4*0+5)^2+4)=e^0*(5^2+4)=29\]

=> F''(0)=29


\[F'''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]]=e^{2x^2+5x}(4x+5)*[(4x+5)^2+4]+e^{2x^2+5x}[2(4x+5)*4]\]

\[F'''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)[[(4x+5)^2+4]+8(4x+5)]\]



\[F'''(0)=e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)[[(4*0+5)^2+4]+8(4*0+5)]=1(5)[[(5)^2+4]+8(5)]= 5[29]+40=145+40=185\]

=> F'''(0)=185

El polinomio de Taylor en x=0 de grado 3 de F(x) sería:

\[T(x)=F(0)+F'(x)x+\frac{F''(x)}{2!}x^2+\frac{F'''(x)}{3!}x^3\]

\[T(x)=0+5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\]

\[T(x)=5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\] FIN.

Cuando hiciste las derivadas, en que momento usaste los datos que te dan de f(0)=0, etc ?
01-10-2015 20:42
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Mensaje: #11
RE: AM I - FInal 30/07/2015
Respecto al 4a) cuando pasas de F'(x) a F''(x) hay algo queme hace ruido, elevado a la e esta F(2x^2+5x) y no solo 2x^2+5x:

\[F'(x)= e^{F(2x^2+5x)}*(4x+5)\]

entonces al derivar deberia ser:

\[F''(x)=e^{F(2x^2+5x)}*F'(2x^2+5x)*(4x+5)*(4x+5)+e^{F(2x^2+5x)}*4\]

ahi utilizas el f'(0) = 0 que te dan como dato y finalmente F''(0) = 4, lo mismo cuando calculas F'''(0) que (si hice bien los cálculos) da 125 (ahí aparece el f''(0)

Saludos
10-02-2016 21:54
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RE: AM I - FInal 30/07/2015
Alguien que me ayude con el 5)b)? Gracias.
25-05-2016 21:40
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meaton Sin conexión
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Mensaje: #13
RE: AM I - FInal 30/07/2015
creo que la estimación de error es como la de taylor |(-2)^100*1/(101.2^100)| = 0,0099.

No estoy seguro, porque no ví ningún ejercicio así, pero yo pondría eso.

Saludos.
27-07-2016 16:46
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apu87 Sin conexión
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RE: AM I - FInal 30/07/2015
En el que pide el error, se hace como el de taylor.
Te confunde el grado 2 que pusieron porque siempre te piden el error a secas, pero si se fijan, la aprox se hace con taylor hasta grado 1. y El error se hace con (n mas 1) que seria 2 solo esta para confundir.

El de la serie yo hice error= Sn - S100
y tome el valor absoluto.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-12-2016 21:40 por apu87.)
13-12-2016 21:39
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