Buen día! estoy resolviendo ejercicios de ecuaciones diferenciales y me encontré con esta integral que no se como llega a ese resultado , esta integral es parte del siguiente ejercicio \[\left ( 1+x^3)dy - (x^2ydx \right )=0\] si alguien puede explicarme paso a paso se lo agradecería....

p/d: adjunto imagen del resultado que me dio el programa wolfram de la integral y el resultado final

arriba en el ejercicio pusiste 1+x^2 pero en el wolfram alpha pusiste 1+x^3.

elegi alguna y lo hago jaja


EDIT: debe ser 1+x^3 sino queda una integral muy dificil para este tema. ahora lo subo

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\[(1+x^3)dy-(x^2ydx)=0\]

\[(1+x^3)dy=x^2ydx\] pasas sumando

\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{x^2}{1+x^3}dx\] separas las variables e integras a ambos miembros.

\[ln (y)=\int \frac{x^2}{1+x^3}dx\] la integral esa es inmediata, hagamos esa que costo en el wolfram

\[\int \frac{x^2}{1+x^3}dx\]

\[z=1+x^3 \rightarrow dz=3x^2 dx\] usamos esta sustitucion

\[\frac{1}{3}\int \frac{dz}{z}= \frac{1}{3}ln(z)+C=\frac{1}{3}ln(1+x^3)+C=ln(1+x^3)^{\frac{1}{3}}+C\] nos queda esta inmediata, volvemos a todo

\[ln(y)=ln(1+x^3)^{\frac{1}{3}}+C\]

\[y=e^{ln(1+x^3)^{\frac{1}{3}}+C}\] definicion de logaritmo

\[y=e^{ln(1+x^3)^{\frac{1}{3}}}e^{C}\] prop de potencia

\[y=K (1+x^3)^{\frac{1}{3}}=K\sqrt[3]{1+x^3}\] prop de logaritmo y llamo \[K=e^C\]

espero que te sirva

GRACIAS feder SI ME EQUIVOQUÉ AL COPIAR, LO ENTENDÍ MUY BIEN!