Hola, quisiera preguntarles como se hace para trabajar con coordenadas polares cuando tengo algo como lo siguiente:

4x^2 + y^2 = 4

Sé como pasar a polares cuando está corrido del centro, por ejemplo: (x-1)^2 + y^2 = 4 ... Pero con el caso que les planteo mas arriba no se como resolverlo.

Gracias chicos desde ya.

Lo que hago yo es, dividir todo por 4, te quedaria:
x^2 + 1/4y^2 = 1

Metes el 1/4 adentro del cuadrado y te quedaria :
×^2 + (y/2)^2 =1

Entonces te queda
x = r.cost
Y/2= r.sent =》y= 2.r.sent

Espero que se haya entendido.

(30-11-2014 22:31)Tucan escribió:  Hola, quisiera preguntarles como se hace para trabajar con coordenadas polares cuando tengo algo como lo siguiente:

4x^2 + y^2 = 4

Sé como pasar a polares cuando está corrido del centro, por ejemplo: (x-1)^2 + y^2 = 4 ... Pero con el caso que les planteo mas arriba no se como resolverlo.

Gracias chicos desde ya.

Lo que tenés ahi es una elipse, que tiene la siguiente forma:

\[\frac{4x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 4\]

Tenés que llevarla a esa forma pasando el 4 al otro lado, te queda:

\[x^{2}+\frac{y^{2}}{4} = 1\], con a=2 y b=1.

Gráfico

Tenés que usar coordenadas elípticas y te queda algo asi:

\[\left\{\begin{matrix}x = b.\rho. cos \varphi = \rho .cos \varphi \\ y = a.\rho .sen\varphi = 2.\rho .sen \varphi \\ \end{matrix}\right.\]

\[0 < \varphi < 2\pi \]
\[0 < \rho < 1\]

El jacobiano es igual a: \[J = a.b.\rho = 2\rho \]

Queda:
x=r. cos (t)
y=r. 1/2 sen (t)

y el jacobiano es: 1/2.r

Por ende queda:

r^2=4
r=2

los limites de integracion: teta de 0 a 2pi y ro de 0 a 2

Muchas gracias a ambos!!!

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Entre la respuesta de Gan y la de Pabloc difiere el Jacobiano. Cuál es el que realmente se toma?

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Resolví el Jacobiano aplicando el determinante y me dio r/2 .. Es decir, lo mismo a que a Pabloc

Tucan, es lo mismo, depende como lo plantees...

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (2\rho) d\rho d\varphi = \int_{0}^{2\pi} 1 d\varphi = 2\pi\]

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (\frac{1}{2}\rho) d\rho d\varphi = \int_{0}^{2\pi} 1 d\varphi = 2\pi\]

Tenes razón @Gan!!! Gracias nuevamente!

En realidad son coordenadas elipticas