Calcular la integral curvilínea del campo vectorial \[\bar{f}\] a través de \[C\] : curva borde de S.

En el 1° octante:
\[S:\]
\[z^{2}+y^{2}=1\]
\[y+x\leq 1\]

Además,

\[D\bar{f} = \begin{bmatrix}y & x & 0\\ 1 & 0 & 2z\\ 0 & z & y\end{bmatrix}\]

Estoy trabado en el rotor, me está dando distinto al de la resolución.

Me quedó \[rot\bar{f} = (2z-2z, 0, 1-2x) = (0,0,1-2x)\] y en la resolución figura que \[rot\bar{f} = (-z,0,1-x)\]

Lo que hice fue integrar la matriz jacobiana del campo y me quedó que \[\bar{f} = (2xy, x+z^{2},2yz)\]

De ahí aplique el teorema del rotor:

\[rot\bar{f} = \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2xy & x+z^{2} & 2yz\end{vmatrix}= (2z-2z,-(0-0),1-2x)=(0,0,1-2x)\]

Si alguien puede revisar si hice mal algo, le agradecería mucho.

Para que integraste la matriz jacobiana... recorda que por definicion

la matriz jacobiana en R3 asociada a un campo \[f(x,y,z)=(P,Q,R)\] se define como

\[J(x,y,z) = \begin{bmatrix}{P^{\prime}_{x}}&{P^{\prime}_{y}}&{P^{\prime}_{z}}\\{Q^{\prime}_{x}}&{Q^{\prime}_{y}}&{Q^{\prime}_{z}}\\{R^{\prime}_{x}}&{R^{\prime}_{y}}&{R^{\prime}_{z}}\end{bmatrix}\]

y el rotor como

\[\nabla\times f\]

entonces

\[rot f=\begin{pmatrix}\frac{d}{dx} &\frac{d}{dy} & \frac{d}{dz} \\\\ P& Q & R \end{pmatrix}=(R'_y-Q'_z,P'_z-R'_x,Q'_x-P'_y)\]

ya en la jacobiana estan las derivadas de f, lo unico que tenes que hacer es identificar cual corresponde a la definicion del rotor sin necesidad de integrar o cosas por el estilo

Uf, me compliqué al pedo. Gracias Saga.