Dada C como interseccion de S1 y S2, calcular circulacion de f a lo largo de C
\[rot f = (z^{2};x^{2}+y^{2};-z^{2})\]
\[S1: x+y+z = 5\]\[S2: x^{2}+y^{2} = 2y\]

Eso me lo tomaron en el parcial y puse mal los límites del ángulo

Parametrizo en función de las curvas:

\[\Phi (x,y)=(x,y,5-x-y)\]
\[\Phi'_x=(1,0,-1)\]
\[\Phi'_y=(0,1,-1)\]
\[\Phi'_x \times \Phi'_y=(1,1,1)\]

Cambio de coordenadas:

\[x=rcost\]
\[y=rsent\]

\[0 \leq r \leq 2sent\]
\[0 \leq t \leq \pi\]

\[rot(\bar{f}).(\Phi'_x \times \Phi'_y)=(z^2,x^2+y^2,-z^2).(1,1,1)=x^2+y^2=r^2\]

Circulación por teorema del rotor:

\[\int \int rot(\bar{f}).(\Phi'_x \times \Phi'_y)dxdy\]

Aplico el cambio de coordenadas a la integral doble:

\[\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2sent} r^3 drdt \]

Saludos!

Grande maty

(01-12-2011 16:42)Saga escribió:  Grande maty

Estoy con una bronca, de los 4 ejercicios que tomó hice uno solo bien. En los otros 3 el planteo estaba bien pero al usar coordenadas cilíndricas calculaba mal los límites del ángulo. Y obviamente no aprobé, tengo que encontrarle la vuelta al hallar los límites de las integrales.

(02-12-2011 11:14)matyary escribió:  al usar coordenadas cilíndricas calculaba mal los límites del ángulo. Y obviamente no aprobé, tengo que encontrarle la vuelta al hallar los límites de las integrales.

si me doy cuenta que a la mayoria les cuesta ver lo de los limites, un bajon que no aprobaste, fijate este ejercicio que tambien tiene problemas con los limites de integracion, ahi lo explico como hacer de forma analitica independizandome del dibujo, si tenes dudas pregunta , a mi no me molesta responder, siempre y cuando sepa del tema, sino siempre hay gente por aca que sabe hacerlo , si necesitas ayuda con el seg recuperatorio, o al que lo necesite, sin dramas de colaborar por mi parte, onda clases de consulta

saludos

Ya lo había visto a ese, gracias. Me parece que es de un parcial de fotocopiadora. El profe también me dijo que a muchos les cuesta el tema de los límites, yo más que nada me nublo con el del ángulo en caso de cambiar coordenadas. Los límites cartesianos los saco lo más bien, mismo el radio en coordenadas cilíndricas. Mi único problema es ese ángulo... hay alguna forma analítica de darse cuenta de su rango?
Saludos!

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Off-topic:

Ahora que releo tu desarrollo, me doy cuenta que bien podría igualar los límites de alguna variable que esté expresada en función de ese ángulo, y así sacaría sus límites. Podría ser no?

Cambio de coordenadas:

\[x=rcost\]
\[y=rsent\]

\[0 \leq r \leq 2sent\]
\[0 \leq t \leq \pi\]

Hola! pregunta, me podras explicar como determinaste estos limites? Gracias!!!

(02-12-2011 17:47)thewithin escribió:  \[0 \leq r \leq 2sent\]

Este sale de \[x^2+y^2=2y \to r^2=2rsent \to r=2sent\]

Cita:\[0 \leq t \leq \pi\]

Y para éste igualás los límites del radio: \[2sent=0\]

De esa igualación obtenés \[t_1=0;t_2=\pi;t_3=2\pi\]

Y está entre \[0-\pi\] porque la circunferencia es cortada por el plano, por lo que la región no ocupa su totalidad.

Saludos!

(02-12-2011 17:13)matyary escribió:  Mi único problema es ese ángulo... hay alguna forma analítica de darse cuenta de su rango?

Obvio que lo hay, yo desde que lo aprendi de esa manera...chau dibujo de hecho es lo unico dificil de esta parte de AM 2

Lo fundamental es tratar de conseguir alguna desigualdad, de ahi los demas limites salen solos, pueden aparacer dos casos

1) \[f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\]

2) \[z\leq f(x,y)\wedge z\leq g(x,y)\]

El caso 1) es la "situacion ideal" donde por transitividad obtenes los limites restantes, fijate el post que te pase, el procedimiento es analogo cuando tenes coordenadas polares, cilindricas o esfericas.

En el caso 2) hay que tener cuidado ya que los limites de integracion se definen como

\[z\leq \min\left\{f(x,y),g(x,y)\right\}\]

en este caso la region de integracion esta divida en dos partes una integral de a hasta b y otra desde c hasta d, por lo general se toman solo caso 1) aunque en la guia que tengo hay un ejercicio con el caso 2) ahora no te lo paso porque toy laburando, cuando llegue a casa lo posteo

A los que leen el post y tienen dudas sobre esta parte de la materia, lo pueden visualizar ?? thewithin, maty lo ven ??

Excelentes ambas explicaciones! todavia me cuesta un poco pero ya es cuestion de practica, porque en mi caso almenos, de dibujar NI HABLAR! no puedo dibujar ni una parabola jaja, asi que el metodo analitico me viene perfecto, Gracias!!!

(02-12-2011 18:22)matyary escribió:  Y está entre \[0-\pi\] porque la circunferencia es cortada por el plano, por lo que la región no ocupa su totalidad.

Se me paso jej, no es cierto lo que afirmas, si bien el plano corta al cilindro no es por eso el valor del angulo, te invito a pasar por la respuesta dada por monoantunez a otro forista que tenia las mismas dudas

(02-12-2011 20:58)thewithin escribió:  asi que el metodo analitico me viene perfecto, Gracias!!!

Si queres practicar fijate que con este mismo ejercicio tenes el caso 1)

\[0\leq r\leq 2\sin t\]

como determinas el angulo ahi , en forma analitica,? intentalo si queres y te voy guiando

Llevo una hora mirando el otro post que comentas, esta excelente, pero siguiendo este ejercicio llego a que \[\rho =0 \vee \rho =2Sen\Theta \] y veo que \[\Theta \] puede ser 0, \[\pi \], o 2\[\pi \] como puedo determinar que efectivamente va de 0 a \[\pi \] y no de \[\pi \] a 2\[\pi \] ?? Gracias!!!

Es decir, el resultado al que llegué está bien pero lo justifiqué con cualquier verdura... sinceramente pensé que era por ese lado, ahora me quedé con la duda Jaja

(02-12-2011 22:44)thewithin escribió:  Llevo una hora mirando el otro post que comentas, esta excelente, pero siguiendo este ejercicio llego a que \[\rho =0 \vee \rho =2Sen\Theta\]

Hasta aca barbaro, hagamos de cuenta que lo demas no lo dijiste, ojo esta bien pero, no te estan pidiendo puntos esfecificos, sino intervalos

Por definicion r>0 con los valores que encontras del r, intuitivamente definimos

\[0<r<2\sin t\]

si revisas mis anteriores comentarios tenes un caso 1) "situacion ideal" , luego por transitividad,

\[0<2\sin t \Rightarrow \sin t>0\]

Ahora bien , hasta aca llega la mayoria y aca termina la guerra para algunos, pregunto ¿en que cuandrantes de la circunferencia trigonometrica la funcion seno es siempre positiva?

Esto se da en el ingreso , sin animo de boludear a nadie pero cosas que uno ve en el ingreso las tiene que aplicar ahora.

La respuesta a la pregunta: La funcion seno es positiva en el primer y segundo cuadranteo por lo que el \[t\in[0,\pi] \]

Ahora si no recordas en que cuadrante es positiva o negativa las funciones seno coseno o tangente, podes usar una sencilla regla nemotecnica que yo uso, o tal vez tengan su propio metodo, se los comento por las dudas.

Simplemente recordar TODOS SIN TA COS

en el primer cuadrante las funciones arriba mencionadas son siempre positivas, en el segundo solo el seno, el tercero solo la tangente, y el cuarto solo el coseno.

O si no fijarse los dibujos de las curvas sinusoidales representativas de dichas funciones, el arco positivo del seno va en el intervalo que mencione.

Bueno espero se haya entendido, solo es obtener una desigualdad y aplicar transitividad, cualquier duda

saludos

Ahhhh tan simple como eso, mil gracias... se super mega archi recontra entendió!!!