Estimados,
Alguno me podria ayudar a resolver los 2 ejercicios teoricos del parcial?
Si bien las partes a)´s las logro resolver (El enunciado de los teoremas), no logro resolver las partes b)´s que son los ejercicios.


Muchas gracias

Para la parte a , lo podes hacer armando el arbol de correspondencia o utilizando la definicion matricial, lo intentaste por ese lado

la parte b es muy parecido al de la guia, solo tenes que demostrar que el plano tangente a la funcion que te dan ahi se aproxima por el plano tangente que tambien ya esta definido ahi , tenes

la hipotesis (la funcion) y tenes que probar la tesis (plano tangente) , o sea solo calcula el plano tangente a esa funcion ya sea por couchy dini o utilizando el gradiente a la misma , y demostra que efectivamente

el plano que te dan ahi es la aproximacion a esa funcion

(24-09-2015 11:39)Saga escribió:  Para la parte a , lo podes hacer armando el arbol de correspondencia o utilizando la definicion matricial, lo intentaste por ese lado

La parte a) no se como encararla, intente armar el arbol pero no logro llegar al resultado.

(24-09-2015 11:39)Saga escribió:  la parte b es muy parecido al de la guia, solo tenes que demostrar que el plano tangente a la funcion que te dan ahi se aproxima por el plano tangente que tambien ya esta definido ahi , tenes

la hipotesis (la funcion) y tenes que probar la tesis (plano tangente) , o sea solo calcula el plano tangente a esa funcion ya sea por couchy dini o utilizando el gradiente a la misma , y demostra que efectivamente

el plano que te dan ahi es la aproximacion a esa funcion

Esto ya esta use gradiente y llegue al mismo resultado.


El ejercicio E4) sabes de donde puedo sacar como resolverlo? Lo plantee, pero llego a un choclo.

Hago la parte a)

la definicion dice:
\[Dh_{(x_{0},y_{0})}=Df_{(_{g(x_{0},y_{0})})}*Dg_{(x_{0},y_{0})}\]

Entonces tenes que tomar tu h=fog y buscar las funciones aplicando lo anterior:

- f te la dan en el enunciado, es una funcion de u y v
- g es: \[g=\left\{\begin{matrix}u_{(x,y,z)}\\v_{(x,y,z)}\\\end{matrix}\right.\]

Busco los jacobianos:

\[Dg=\begin{pmatrix}{u}'_{x} {u}'_{y} {u}'_{z} \\ {v}'_{x} {v}'_{y} {v}'_{z} \\ \end{pmatrix}\]

\[Df=\begin{pmatrix}{f}'_{u} {f}'_{v} \\ \end{pmatrix}\]

Aplico el producto de matrices y queda:

\[Dh=\begin{pmatrix}{f}'_{u}{u}'_{x} +{f}'_{v}{v}'_{x}, {f}'_{u}{u}'_{y}+ {f}'_{v}{v}'_{y}, {f}'_{u}{u}'_{z}+ {f}'_{v}{v}'_{z} \\ \end{pmatrix}\]

Ahora lo que te piden es mostrar que la derivada parcial de H en z es eso que te dicen ahi, entonces utilizas Dh sabiendo que es el gradiente y el gradiente por la direccion (0,0,1) te da la derivada parcial de H en z, entonces queda:

\[Dh=\bigtriangledown h => Dh * (0,0,1)={h}'_{z}\]

Haciendo el producto escalar:

\[{h}'_{z}=\begin{pmatrix}{f}'_{u}{u}'_{x} +{f}'_{v}{v}'_{x}, {f}'_{u}{u}'_{y}+ {f}'_{v}{v}'_{y}, {f}'_{u}{u}'_{z}+ {f}'_{v}{v}'_{z} \\ \end{pmatrix} * (0,0,1)= {f}'_{u}{u}'_{z}+{f}'_{v}{v}'_{z}\]

que coincide con lo que te piden (cambiando la notacion por la que usan en el parcial).

Espero que sirva

Hago el E4)

\[2y{}' + e^{x}(y{}' -y)=e^{x}\]

Divido todo por \[e^{x}\]
\[2e^{-x}y{}' +y{}' -y=1\]

Saco factor comun \[y{}' \]
\[(2e^{-x} + 1)y{}' -y=1\]

Agrupo un poco
\[(2e^{-x} + 1)y{}' =1+y\]

Hago la suma
\[(\frac{2+e^{x}}{e^{x}} )\frac{dy}{dx} =1+y\]

Integro
\[\int \frac{1}{1+y} dy =\int \frac{e^{x}}{2+e^{x}} dx\]

La integral de la derecha sale facil con una sustitucion de \[u=2+e^{x} du=e^{x} dx\]

Queda
\[Ln(1+y)=Ln(2+e^{x}) + C\]

Aplico propiedad de logaritmos elevando sobre e en ambos miembros
\[1+y=C(2+e^{x})\]

Dice que pasa por (0,2), entonces
\[y=C(2+e^{x})-1\]

\[2=C(2+e^{0})-1\]

\[C=1\]

Entonces queda:
\[y=1+e^{x}\]

Espero que sirva.