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[AMII] TP1 Ejercicio 10
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Troyano Sin conexión
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Otra
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Mensaje: #1
[AMII] TP1 Ejercicio 10 Ejercicios Análisis Matemático II
Cómo andan, los vengo a molestar con este ejercicio de ecuaciones diferenciales, el del circuito eléctrico (busqué por el foro pero no está), si alguno se tomó el trabajo de hacerlo o puede entenderlo rápidamente, no es de los importantes del tema ni mucho menos de la materia, de hecho la dificultad creo que está en lo que refiere a ecuaciones diferenciales, pero no le encuentro la vuelta para llevar la expresión de i a la forma que ahí pide:

[Imagen: 14nfix4.jpg]

Si alguno me puede dar una mano, estaré muy agradecido. Saludos.
06-01-2015 18:35
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Wasol Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [AMII] TP1 Ejercicio 10
Usa R y L como constantes, al igual que E. Entonces es como resolver una lineal común.
06-01-2015 20:10
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Troyano (07-01-2015)
John_Doe* Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: [AMII] TP1 Ejercicio 10
Este ejercicio es mejor encararlo pensando en "física 2" (o con Asys donde lo vivis usando) pero usando las herramientas del análisis matemático:

Dado que es un circuito en serie la corriente que circula es la misma para los dos componentes, vos podes decir que:

\[E = V_R(t) + v(t)\] (1)
\[v(t) = V_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt}\] (2)
\[V_R(t) = i(t) \cdot R\] (3)

Donde i(t) es la corriente que circula a través del circuito una vez cerrado el interruptor. Considera también que por condición inicial te dan i(t = 0) = 0 con lo cual no es necesario tomar un comportamiento activo por parte de la bobina previo a cerrar el interruptor.

Tene en cuenta que vamos a decir que la tensión de la fuente de alimentación es constante (mejor dicho, invariable en el tiempo), pero en el circuito el resistor y la bobina se comportan de manera dependiente en función del tiempo hasta que pasado el transitorio (generalmente definido como 5 veces tau) podes despreciar y decir que la bobina se comporta como un cable.

Para continuar vamos a decir que nuestra "salida" del sistema es i(t) y nuestra entrada es una constante E
Reemplazando en (1) (2) y (3) :

\[E = i(t) \cdot R + L \frac{di(t)}{dt}\]

Liberamos de constantes nuestra derivada para armar la ecuación diferencial (divido por la autoinductancia de la bobina):

\[\frac{E}{L} = i(t) \cdot \frac{R}{L} + \frac{di(t)}{dt}\]

Para resolver esta ecuación vamos a usar el método de obtener la solución general como suma de la solución homogénea más la particular:

Solución homogénea:

\[i(t) \cdot \frac{R}{L} + \frac{di(t)}{dt} = 0\]

\[\frac{di(t)}{dt}= - i(t) \cdot \frac{R}{L} \Rightarrow \frac{di(t)}{i(t)} = - \frac{R}{L} \cdot dt \Rightarrow ln(i(t)) = - \frac{R}{L} \cdot t + K \Rightarrow i(t) = e^{-\frac{R}{L}\cdot t + K} = e^{-\frac{R}{L}\cdot t} \cdot e^{K} = K_1\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\]

Resulta:

\[S_h : i(t) = K_1\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\]

Solución particular:

Si nuestra entrada es una constante E podemos decir que la salida tendrá un coportamiento similar tal que mi solución particular será en forma igual a la entrada, o sea una constante que llamo A:

\[\frac{E}{L} = i(t) \cdot \frac{R}{L} + \frac{di(t)}{dt} = A \cdot \frac{R}{L} + 0 \Rightarrow A = \frac{E}{R}\]

\[S_p: i(t) = A = \frac{E}{R}\]

Sumando obtenemos la expresión de la solución general:

\[S_{general} : i(t) = K_1\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t} +\frac{E}{R}\]

Y por la condición de contorno tenemos que:

\[i(t = 0) = K_1\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot 0} +\frac{E}{R} = 0 \Rightarrow K_1 = - \frac{E}{R}\]

Con lo cual nos queda la expresión de la salida de nuestro sistema como:

\[i(t) = -\frac{E}{R}\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t} +\frac{E}{R} = \frac{E}{R} \cdot (1 - e^{-\frac{R}{L}\cdot t}) = \frac{E}{R} \cdot (1 - e^{-\frac{1}{\frac{L}{R}}\cdot t}) \]

Definiendo a tau como (L/R) (la constante de tiempo de tu circuito) queda:

\[i(t) = \frac{E}{R} \cdot (1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \]

Si vos te fijas atentamente tiene logica ya que si haces tender t a infinito (o sea completamente superado el transitorio) solamente te va a quedar la componente resistiva de tu circuito y por consecuencia circula la corriente máxima que es E/R (como si la bobina fuera un cable).
Pero durante el transitorio la corriente empieza levemente a incrementar; limitada por la inercia de la bobina que se opone al cambio en el circuito tanto al cerrar el interruptor (como componente pasivo) como al abrirlo (activo)

Y esto es lo que vos verías si tomaras como salida la tensión de la bobina o bien la corriente:

[Imagen: 13image_11.png]

[Imagen: 335x50sfm_1.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-01-2015 23:03 por John_Doe*.)
06-01-2015 22:54
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Troyano (07-01-2015)
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Mensaje: #4
RE: [AMII] TP1 Ejercicio 10
Mil gracias, perfectamente explicado. No recordaba ese método para resolver ecuaciones diferenciales, ya que casi ni se vio en la cursada.
Lo voy a agregar al índice de ejercicios resueltos de la materia.
07-01-2015 16:55
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