Hola, nuevamente necesito ayuda, el ejercicio dice:
halle la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen y tienen su centro en la recta y=k, con k dato conocido


Muchas gracias po la ayuda

Por las condiciones del enunciado la familia de cicunferencias que pasan por el origen corresponden a una ecuacion del tipo

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\quad C(h,k)\]

si haces un dibujo de la situacion, y aplicamos pitagoras tenes

\[(x-h)^2+(y-k)^2=k^2+h^2\quad C(h,k)\]

operando

\[x^2-2xh+y^2-2ky=0\quad (1)\]

despejeando \[y^2\]

\[y^2=2ky+2xh-x^2\]

derivando una vez en forma implícita

\[2yy'=2ky'+2h-2x\]

solo queda despejar 2h y reemplazar en (1), ya es tema de cuentas desde aca

Dibujalo y te sale, dale pilas.
una ayuda para que lo saques, tenes que usar pitagoras
y la ecuacion implicita de una circuferencia.