Hola, bueno tuve problemas para resolver este ejercicio:

   

Para la parte A no tuve problemas. Vamos a la parte B que no logre hacerla. Lo que yo plantee fue lo siguiente:

\[h^{`}_{((2;1);(\frac{3}{5};\frac{4}{5}))}=\bigtriangledown h_{(2;1)}*(\frac{3}{5};\frac{4}{5})\]

para hallar el gradiente en el punto hice lo siguiente:

\[\bigtriangledown h_{(2;1)} = \left ( 2v+\frac{1}{\sqrt{v-u}}; 2u-\frac{1}{\sqrt{v-u}} \right )\]

usando las igualdades de u y v segun la funcion compuesta:

\[\bigtriangledown h_{(2;1)} = \left ( 2x+4xy-2+\frac{1}{\sqrt{2xy-1+y^2}}; 2x-2y^2-\frac{1}{\sqrt{2xy-1+y^2}} \right )_{(2;1)}\]

Reemplazando los valores de x=2 a y=1 llego a que:

\[\bigtriangledown h_{(2;1)} = \left ( 10.5;1.5 \right )\]

ahora volviendo para hallar la derivada direccional:

\[\left ( 10.5;1.5 \right )*\left ( \frac{3}{5};\frac{4}{5} \right ) = 7.5\]

Pero en la guia dan como respuesta -3

Que estoy haciendo mal?

Y ya que estamos, me podrian ayudar con los item C y D?

Gracias!

Que loco. Yo lo hice ayer y me dió lo mismo que a vos. Perdí como 1 hora buscando mi error hasta que me cansó y lo dejé.

y.... hay que revisar la composicion y ver si no esta nada mal , igualmente te haces mucho quilombo asi ....si ya identificaste la funciones correspondientes , entonces el resto es solo cuenterio

b)

las funciones con diferenciables en el punto dado entonces podes aplicar la definicion \[h'(A,\hat{u})=\habla h(A).\hat{u}\]

para el calculo del gradiente solo es aplicar la definicion

\[\nabla h(2,1)=\nabla f(g(2,1))\cdot\nabla g(2,1)\]

de donde

\[\nabla h(2,1)=\nabla f(1,5)\cdot\nabla g(2,1)\]

es solo un producto matricial

\[\nabla h(2,1)=\nabla f(1,5)\cdot\nabla g(2,1)=\left ( \frac{21}{2},\frac{3}{2} \right )\cdot\begin{pmatrix}1 & -2\\\\3 & 4\end{pmatrix}=(15,-15)\]

el versor que encontraste esta bien , entonces

\[h'(A,\hat{u})=\left ( \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )(15,-15)=-3\]

c) es solo un poco de algebra, la recta normal que te piden tendra como director al vector normal del plano tangente a h, sabes que por definicion

\[h\approx z=h(2,1)+h'_x(x-2)+h'_y(y-1)\]

\[h(1,2)=f(g(1,2))=f(1,5)=6\]

luego el plano tangente es de la forma

\[z=6+15(x-2)-15(y-1)\]

cuyo vector normal sera \[(15,-15,-1)\]

luego la recta escrita de forma vectorial es de la forma

\[r(\beta)=(2+15\beta,1-15\beta,6-\beta)\]

solo hay que expresar esta recta como interseccion de dos planos, lo sabes hacer?? como te daras cuenta am2 termina cuando hallamos el plano tangente a h de ahi en mas es todo algebra ,

En el punto b, revisé mi problema y yo había llegado bien al gradiente, pero hice:

\[\triangledown h(2,1) \cdot \breve{u} = \left ( 15, -15 \right ) \cdot \left ( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right )\]

porque decía dirección (5, 5)

No entiendo de donde sale el vector en azul:

\[\triangledown h(2,1) \cdot \breve{u} = \left ( 15, -15 \right ) \cdot {\color{Blue} \left ( \frac{3}{5}, \frac{3}{2} \right )}\]

Porque te dicen que calcules la derivada direccional en el (2,1), en la direccion que va a hacia (5,5)

Entonces para sacar el vector que va desde (2,1) hasta (5,5) haces:

\[U = (5,5) - (2,1) = (3,4)\]

Y normalizado es

\[u = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\]

Y cuando haces el gradiente por este versor efectivamente es igual a -3.

Seguro fue un error de tipeo...a veces el Latex es medio traicionero, me paso varias veces

Muchas gracias por la ayuda!! Mañana vere si lo logro hacer nuevamente a ver si lo entendi bien

(22-06-2014 22:12)Santi Aguito escribió:  Porque te dicen que calcules la derivada direccional en el (2,1), en la direccion que va a hacia (5,5)

Entonces para sacar el vector que va desde (2,1) hasta (5,5) haces:

\[U = (5,5) - (2,1) = (3,4)\]

Y normalizado es

\[u = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\]

Y cuando haces el gradiente por este versor efectivamente es igual a -3.

Seguro fue un error de tipeo...a veces el Latex es medio traicionero, me paso varias veces

Ahhhhh bo-lu-do jajaja, gracias gracias.

Interpreté mal el enunciado. Ni me imaginé que era desde el punto hacia...

gracias Santi Aguito, efectivamente fue un error de tipeo que no pude corregir porque me andaba para el ortis inet todo el finde largo ...