(05-03-2013 02:06)Saga escribió:  E1) de los datos del enunciado obtenemos los limites de integración, para hacerlo mas facil lo hacemos por una doble

\[V=\iint_{P_{xz}}\left [ \int_{0}^{2x}dy \right ]dxdz=\iint_{P_{xz}}2xdxdz\]

dibujando el recinto obtenemos

\[V=\int_{0}^{1}\int_{z}^{2-z}2xdxdz=2\]

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E2) el rotor del campo es \[rot f=(0,1-y,x+z)\]

la curva esta formada por

\[C=\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=2x\\x+z=2 \end{matrix}\right.\]

parametrizo como

\[g:R^2\to R^3/g(y,z)=(2-z,y,z)\]

el producto vectorial de los elementales, en sentido positivo es

\[g'_z\times g'_y=(1,0,1)\]

luego aplicando la defincion

\[\varphi=\iint_C (rot f).(g'_z\times g'_y)dA=\iint_C 2 dA=2 Area\bigcirc=2\pi \]

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E4) tomo la parametrizacion del plano despejando la variable z, entonces

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=\left ( x,y,3-\frac{3}{2}x-3y \right )\]

el producto de los elementales me da un equivalente de la forma \[n=(3,6,2)\]

los limites van en funcion de la parametrizacion elegida

\[x>0\quad y>0\quad 3-\frac{3}{2}x-3y>0\]

de donde se deduce que

\[0<y<1-\frac{1}{2}x\]

por transitividad

\[0<1-\frac{1}{2}x\to 0<x<2\]

luego multiplicando n por el campo f obtenemos que

\[\varphi=\int f n dA=\iint_S 6 dA=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1-\frac{1}{2}x}6dydx=6 \]

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los demas lo contesto yakulmont

hola, a mi me da 3, no 6... me pregunto si la normal la sacaste como el producto vectorial de (1,0,-3/2) con (0,1,-3), porque en eses caso te daria n=(3/2,3,1) que seria justo la mitad y te termina dando 3...

Siendo:

\[f(x,y,z) = (2y - x, x, z)\]

Te piden calcular el flujo a través del plano de ecuación:

\[3x + 6y + 2z = 6\]

(y por enunciado, se restringe lo pedido al primer octante)

Por definición, el flujo será:

\[\phi = \iint_{S} f\cdot n\cdot dS\]

Siendo n la normal a la superficie sobre la cual vamos a calcular el flujo, y el diferencial de superficie:

\[dS = \frac{\left \| \bigtriangledown F \right \|}{|F`z|}dx dy\]

Siempre y cuando trabajemos proyectando sobre le plano XY.

Volviendo a la expresión de flujo:

\[\phi = \iint_{R} f\cdot \frac{\bigtriangledown F}{\left \| \bigtriangledown F \right \|}\cdot \frac{\left \| \bigtriangledown F \right \|}{|F`z|}dx dy\]

Los módulos del gradiente se simplifican:

\[\phi = \iint_{R} f\cdot \bigtriangledown F\cdot \frac{1}{|F`z|}dx dy\]

Definimos una función F la cual tendrá como superficie de nivel cero a nuestro plano:

\[F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}/3x + 6y + 2z -6 = 0\]

Su gradiente será:

\[\bigtriangledown F(x,y,z) = (3,6,2)\]

y \[|F`z| = 2\]

Ahora, como estamos proyectando sobre el plano XY, debemos obtener Z en función de X y de Y, eso lo hacemos a partir de la ecuación del plano:

Si \[3x + 6y + 2z -6 = 0\]

\[z = 3 -3y -\frac{3}{2}x\]

Volviendo al flujo y haciendo los reemplazos necesarios:

\[\phi = \iint_{R} f(x,y,3 -3y -\frac{3}{2}x)\cdot(3,6,2)\cdot \frac{1}{2}dx dy\]

Evaluando a f en las coordenadas que nos solicitan:

\[\phi = \iint_{R} (2y-x,x,3 -3y -\frac{3}{2}x)\cdot(3,6,2)\cdot \frac{1}{2}dx dy\]

Haciendo el producto escalar:

\[\phi = \iint_{R} (6y - 3x + 6x + 6 - 6y - 3x) \frac{1}{2}dx dy\]

\[\phi = \iint_{R} 3dx dy\]

Para terminar, haciendo Z=0 obtenemos la proyección del plano sobre XY, lo cual nos sirve para hallar los limites de integración.

Obtendremos lo siguiente:

\[y = 1 - \frac{1}{2}x\]

Entonces:

\[\phi = \iint_{R} 3dx dy = 3\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{1 - \frac{1}{2}x}dy = 3\]

(25-07-2014 11:43)drope escribió:  hola, a mi me da 3, no 6... me pregunto si la normal la sacaste como el producto vectorial de (1,0,-3/2) con (0,1,-3), porque en eses caso te daria n=(3/2,3,1) que seria justo la mitad y te termina dando 3...

Tenes toda la razón , el error mio fue este ahi edite el mensaje , gracias por corregir

Cita:el producto de los elementales me da un equivalente de la forma \[n=(3,6,2)\]

cuando se trabaja parametrizando y utilizando la definicion directamente , no se tiene que usar "equivalentes" a la normal obtenida haciendo el producto vectorial , porque ya "magicamente" usar la definicion evita todo el calculo y los factores de correccion que hizo santi aguito en su respuesta , gracias por la correccion

alguien me puede pasar la figura del E1 si la pudo armar