Les traigo el final del lunes anterior. Aprobable en todo sentido (lo aprobé ahí igual jaja), tomaron tooodo si se quiere (quizas no matrices ni determinantes).



  Final Álgebra 10-12-12.pdf (Tamaño: 416,8 KB / Descargas: 935)


Un saludo.

Si alguien podria subir la resolucion, o contar como se hacian los ejercicios, especialmente el de contraccion y dilatacion, me vendria joya para rendir el proximo lunes!!

Gracias!!!

Salu2!

El ejercicio 3 no lo hacen ni los profesores

1) la recta formada por los puntos A y B es de la forma

\[r: (1,0,0)+t(1,1,0)\quad t\in R\]

el plano que la contenga sera generado por el director de r y la normal del plano xy (0,0,1) por lo tanto \[\boxed{\pi: x-y-1=0}\]

---

2)

a) Las bases de núcleo e imágen son

\[B_{Nu(T)}=\left \{ (1,1,0),(0,1,1) \right \}\quad B_{Im(T)}=\left \{ (1,-1,1) \right \}\]

definino la TL de la siguiente manera

\[\\T(1,1,0)=(0,0,0)\\ T(0,1,1)=(0,0,0)\\ T({\color{Red} 0,0,1})=(1,-1,1)\]

el vector que esta en rojo lo elijo YO de manera arbitraria, para poder definir la TL el teorema que necesitas para justificar, es el Teorema fundamental de las TL , que nos dice que una TL existe y

es unica si las bases del espacio vectorial V son LI, que se puede comprobar a "ojo" con el vector que agregue

b) La TL es un endomorfismo que va de V en V, o sea las bases del "espacio de salida" son las mismas que en el "espacio de llegada", una base posible que defina esa matriz asociada

es la base canonica

\[B=\left \{ (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) \right \}\]

¿cómo justificar?

\[(0,0,1)\] es ortogonal a los vectores \[(1,0,0)(0,1,0)\] se cumplen las condiciones del enunciado, el nucleo esta generado por los dos ultimos, y la imagen por su

complemento ortogonal, o sea el primero.

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3) si no me falla razonandolo, tomo las bases canonicas en el espacio V y W

a)

\[F:R^2\to R^2/F(x,y)=(-x,y)\quad G:R^2\to R^2/G(x,y)=\left ( 2x,\frac{1}{2}y \right )\]

cuyas matrices son respectivamente

\[\\F:R^2\to R^2/F\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}-1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\binom{x}{y}\\\\\qquad G:R^2\to R^2/G\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}2 &0 \\ 0 &\frac{1}{2} \end{pmatrix}\binom{x}{y}\]

b) sea

\[f\circ g=H(x,y) \]

\[H:R^2\to R^2/H(x,y)=\left ( -2x,\frac{1}{2}y \right )\]

la matriz de autovalores y autovectores, respectivamente es

\[D=\begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\quad P=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\]

la imagen de un cuadrado unitario \[(0,1)\times (1,0)\] es un rectangulo en el segundo cuadrante

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5)

a) Hay que analizar cuando A se anula y esto pasa en \[A=0\quad A=-1\]

\[\boxed{A=-1\to S: x^2-y^2=2\quad z\in R}\] ecuacion del cilindro hiperbólico recto

\[\boxed{A=0 \to S: x^2+z^2=1\quad y\in R}\] ecuacion del cilindro circular

b) De la parametrizacion dada observamos que la superficie es la ecuacion de una elipse sobre el plano x=3

\[C:\left\{\begin{matrix}x=3\\\\\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{z^2}{4}=1 \end{matrix}\right.\]

por ende

\[C:\left\{\begin{matrix}x=3\\\\\dfrac{x^2}{\dfrac{A^2-8}{A}}+\dfrac{z^2}{\dfrac{A^2-8}{A+1}}=1 \end{matrix}\right\]

luego

\[\dfrac{A^2-8}{A}=2\quad \vee \quad \dfrac{A^2-8}{A+1}=4\]

de los valores de A hallados solo \[\boxed{A=-2}\] cumple con las condiciones del enunciado

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Complejos no vi en la cursada, bueno avisen si flashee en algo asi entre todos lo corregimos

Alguien hizo el de complejos?? Puede ser que quede esta parabola: (x+1)^2 = -(y-5) ?

parabola no me quedo.
Esto hice yo:

(x+yi)*(x-yi) + x + yi + x -yi = 4y
(x\[^{2}\] -xyi + xyi -(yi)\[^{2}\] ) + 2x= 4y
x\[^{2}\] + y\[^{2}\] - 4y + 2x=0

Completo cuadrados.

(x\[^{2}\] + 2x + 1) + (y\[^{2}\] - 4y + 4) = 1+4
(x+1)\[^{2}\] + (y-2)\[^{2}\] = 5

Circunferencia de radio \[^{\sqrt{5}}\] y Centro (-1,2)

(16-12-2012 17:37)brianle escribió:  parabola no me quedo.
Esto hice yo:

(x+yi)*(x-yi) + x + yi + x -yi = 4y
(x\[^{2}\] -xyi + xyi -(yi)\[^{2}\] ) + 2x= 4y
x\[^{2}\] + y\[^{2}\] - 4y + 2x=0

Completo cuadrados.

(x\[^{2}\] + 2x + 1) + (y\[^{2}\] - 4y + 4) = 1+4
(x+1)\[^{2}\] + (y-2)\[^{2}\] = 5

Circunferencia de radio \[^{\sqrt{5}}\] y Centro (-1,2)

Está bien hecho lo tuyo, y la parametrización sería:

\[\left\{\begin{matrix}x= -1 + \sqrt{5} &cost \\ y = 2 + \sqrt{5} &sent\end{matrix}\right.\]

Con t entre 0 y 2 pi.

Por último, saga:

La ecuación,

\[S: x^{2} - y^{2} = 2\], es un cilindro hipérbolico.

No hay cilindro elíptico, pero sí hiperbólico y circular recto.

(16-12-2012 20:04)Diego Pedro escribió:  Por último, saga:

La ecuación,

\[S: x^{2} - y^{2} = 2\], es un cilindro hipérbolico.

No hay cilindro elíptico, pero sí hiperbólico y circular recto.

Oks ahi lo edito

Una pregunta, en el 5b) de dónde sale el A^2 - 8 ???

Gracias por la resolución!

(16-12-2012 05:24)Saga escribió:  2)

a) Las bases de núcleo e imágen son

\[B_{Nu(T)}=\left \{ (1,1,0),(0,1,1) \right \}\quad B_{Im(T)}=\left \{ (1,-1,1) \right \}\]

definino la TL de la siguiente manera

\[\\T(1,1,0)=(0,0,0)\\ T(0,1,1)=(0,0,0)\\ T({\color{Red} 0,0,1})=(1,-1,1)\]

el vector que esta en rojo lo elijo YO de manera arbitraria, para poder definir la TL el teorema que necesitas para justificar, es el Teorema fundamental de las TL , que nos dice que una TL existe y

es unica si las bases del espacio vectorial V son LI, que se puede comprobar a "ojo" con el vector que agregue

b) La TL es un endomorfismo que va de V en V, o sea las bases del "espacio de salida" son las mismas que en el "espacio de llegada", una base posible que defina esa matriz asociada

es la base canonica

\[B=\left \{ (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) \right \}\]

¿cómo justificar?

\[(0,0,1)\] es ortogonal a los vectores \[(1,0,0)(0,1,0)\] se cumplen las condiciones del enunciado, el nucleo esta generado por los dos ultimos, y la imagen por su

complemento ortogonal, o sea el primero.

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Che tengo una duda sobre el TFTL, tengo un ejercicio resuelto en clase en el que la profesora "invento" un vector LI con los otros 2 (igual que vos) para formar la base, PERO despues dijo que NO era única..supuse que por que tuvo que inventar el vector.

El teorema dice que si se parte de una base la TL es única, asique deberias tener razón vos...pero la profesora dijo que no era única, no se si tendra algo que ver eso de que invento un vector

(17-12-2012 05:36)DanAykroyd escribió:  Una pregunta, en el 5b) de dónde sale el A^2 - 8 ???

Observa que la ecuacion de la superficie es

\[x^2+Ay^2+(A+1)z^2=A^2+1\]

la intersercción con x=3 no da

\[\\9+Ay^2+(A+1)z^2=A^2+1\to Ay^2+(A+1)z^2=A^2+1-9\\\\\to Ay^2+(A+1)z^2=A^2-8\]

ahi dividi por \[A^2-8\]

(17-12-2012 11:56)takuaras escribió:  Che tengo una duda sobre el TFTL, tengo un ejercicio resuelto en clase en el que la profesora "invento" un vector LI con los otros 2 (igual que vos) para formar la base, PERO despues dijo que NO era única..supuse que por que tuvo que inventar el vector.

El teorema dice que si se parte de una base la TL es única, asique deberias tener razón vos...pero la profesora dijo que no era única, no se si tendra algo que ver eso de que invento un vector

Supongo que quizo decir "NO es única" porque cada uno va a elegir un vector distinto en el espacio de salida, YO elegi el (0,0,1) VOS podes elegir el (1,1,1) y asi, hay infinitas pero para el vector

que YO elegi las bases son LI y me definen MI transformacion lineal, para las que VOS eligas tendras otra TL, supongo que hay que aclarlo cuando hay ejercicios de este tipo, pero para el caso

a vos te piden justificar porque podes definir la TL, y eso lo justifica el TFTL.

fui a rendir ayer y aprobe, no pude sacar le ni una foto al final, si lo suben podria ayudar a resolverlo

no tomaron nada de RECTAS Y PLANOS , y tampoco AUTOVALORES.... (te vienen con cada sorpresa)

Me parece a mi o era un quilombo el de ayer? Yo fui (me saque 2), hice todos: los últimos dos de verdadero o falso perfectos y después algunos regular pero no llegaba a la nota.

Estuve practicando finales de la fotocopiadora de Campus y los últimos dos de acá y había cosas que no tenía vistas.

Algún otro lado donde pueda haber finales interesantes resueltos para practicar para febrero?

Yo tambien rendí ayer y me comí un patito (no había estudiado mucho)

En el tema que me toco a mi tomaron:

Ej1. Superficie
a) determinar la superficie y graficarla teniendo en cuenta 2 condiciones
b) te daban los valores de A, B y C, y te pedian lo mismo determinar la superficie y graficarla

Ej2. te daban una conica, habia que completar cuadrados y quedaba una parábola. habia que parametrizarla con los datos que te daban..

Ej3. de TL con polinomios, en la parte b te pedian ver si era isomorfismo y hallar la TL inversa.

E4. de SEV, te daban 2 conjuntos y en uno habia que hallar 'k' para que sea SEV de R3 creo.. y dps te pedian S1+S2ortogonal.

Ej5. V o F, el primero de complejos y el segundo sobre rango de matrices mxn

si me acuerdo un poco mas edito.

^^ yo me saque 6 (pedi ver el parcial y me dijeron "raja de aca, la tercera es la vencida") xD

yo practique de parciales viejos, y la verdad que como dije antes, este me parecio muy raro...
ojala que lo suban, va estar interesante para practicar... bueno si puedo pregunto en fotopiadora