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[Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
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Mensaje: #1
[Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto Finales Análisis Matemático II
[Imagen: final_30_07_2013.png]

El T1) no es complicado ;)

T2) usamos la recta tangente para deerminar el punto \[(0,y_0)\] haciendo \[y_0=6(0)+2\to y_0=2 \to \boxed{P=(0,2)}\]

derivamos dos veces la ecuacion

\[y=a+be^{2x}\to y'=2be^{2x}\to y''=2\cdot \underbrace{2be^{2x}}_{=y'}\to\boxed {y''=2y'}\]

resolviendo obtenemos que \[\boxed{y(x)=Me^{2x}+K}\]

para obtener M \[y'(x)=2Me^{2x}\to y'(0)=2M=6\to M=3\]

para K \[y(0)=M+K=2\to K=-1\], finalmente \[\boxed{y(x)=3e^{2x}-1}\]

E1) sale por el teorema de green, recordar que

\[\omega=\oint_{C^{+}} fndS=\iint_R(Q_x-P'_y)dA=\iint_R 2x dA\]

la region de integracion esta definida como \[R=\left \{ x\in R^2/x^2+4y^2\leq 4 \right \}\]

tomo la transformacion \[T:R^2\to R^2/T(u,v)=(2u\cos v, u\sin v)\quad |D_T|=2u\]

de donde

\[\omega=\iint_R2x dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}2u\cdot(4u\cos v)dudv=0\]

E2) como lo piden en cartesianas

\[\\x=u-v\\y=v\\z=u^2+v^2+3\]

de donde

\[x=u-y\to u=x+y\to z=(x+y)^2+y^2+3\to \boxed{f(x,y)=x^2+2xy+2y^2+3}\]

obtenemos los puntos criticos igualando el gradiente de f al vector nulo

\[\nabla f(x,y)=(2x+2y,2x+4y)=(0,0)\to x=0\quad y=0\]

el hesiano

\[H(x,y)=\begin{pmatrix}2 &2 \\2 &4 \end{pmatrix}\]

el determinante de H en el (0,0) es positivo, la derivada segunda respecto de x tambien lo es, entonces f presenta un minimo relativo o local

E3) lo calculamos por una integral doble, sabemos que

\[M=\iint_{P_{xy}} \left ( \int k\delta(x,y,z)dz \right )dxdy=\iint_{P_{xy}} \left( \int k\cdot d(P,r) dz \right) dydx\]

para deducir la densidad tomamos un punto generico \[P=(x,y,z)\] y el eje z definida por la recta \[r(z)=(0,0,0)+z(0,0,1)\] por algebra, la distancia de un punto a una recta es

\[d(P,r)=\frac{|\overline{PA}\times d_r|}{|d_r|}=\sqrt{x^2+y^2}\] , entonces

\[M=\iint_{P_{xy}} \left( \int k\cdot d(P,r) dz \right) dydx=\iint_{P_{xy}}\left ( \int_{x^2}^{8-x^2-2y^2}k\sqrt{x^2+y^2}dz \right )dxdy\]

integrando respecto de z

\[M=k\iint_{P_{xy}}\sqrt{x^2+y^2}(8-2x^2-2y^2)dxdy\]

el recinto proyeccion sobre el xy viene definido por \[P_{xy}=\left \{ x\in R^2/ x^2+y^2\leq 4 \right \}\]

tomando coordenadas polares la integral a resolver es

\[M=k\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}8r^2-2r^4drd\theta=\boxed{\frac{256k\pi}{15}}\]

E4) el flujo esta dado por \[\varphi=\iint _R fndS\]

defino una funcion vectorial de la forma

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,4-x^2)\]

la normal esta dada por el producto vectorial entre los vectores elementales respecto de cada variable x e y

\[n=(1,0,2x)\times (0,1,0)=(2x,0,1)\]

multiplico de forma escalar el campo f con la normal n \[f\cdot n=4x^2-z=4x^2-4+x^2=\boxed{5x^2-4}\] reemplazo en la defincion \[\varphi=\iint_R 5x^2-4dxdy\]

busco los limtes de integracion, en funcion de mi funcion g

\[0\leq y \leq x\quad 4-x^2\geq 0\to |x|\leq 2\] finalmente

\[\varphi=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}5x^2-4 dydx=\boxed{12}\]
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Mensaje: #2
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
Una cosa: el extremo del punto 3 es absoluto, no local...mirando la expresión cuadrática antes de desarrollar, sin hessiano ni nada, uno se da cuenta que en \[(x,y)=(0,0)\] , \[f(x,y)=3\]; luego, \[\forall (x,y)\in R^{2}: f(x,y)> 3\] por ser \[f(x,y)= (x+y)^{2} + y^{2} + 3\]

No estaba difícil...le pifié en las constantes en el de diferenciales (escribí 6/2 cuando despejé pero puse 1/3 como valor de la cte. y buéh...la otra también me dió mal =P)...y después el último lo hice por Gauss (le saqué la tapa y todo) y se ve que le pifié en algo porque me dió 40/3 (me lo pusieron como mal cry)...en fin, aprobé con 6...muchas gracias a Saga y a todos los que colaboran en la página...nos estamos viendo!

Condenados para siempre a ser libres
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31-07-2013 08:26
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Mensaje: #3
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
No me digas... el T2) E1), E3), E4) estaban todos bien, salvo que en el E1) no lo hice por coordenadas elípticas, lo hice a la antigua con x:[-2,2] y en Y con las raices. Desde cuando 3 prácticos y un teórico equivalen a un 4!! me vieron la cara mal =( , gracias por subirlo che ;)

If you're afraid to fall, you fall because you're afraid, everything is choice . . .
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31-07-2013 09:40
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VincentVega Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
(31-07-2013 09:40)aleixen escribió:  No me digas... el T2) E1), E3), E4) estaban todos bien, salvo que en el E1) no lo hice por coordenadas elípticas, lo hice a la antigua con x:[-2,2] y en Y con las raices. Desde cuando 3 prácticos y un teórico equivalen a un 4!! me vieron la cara mal =( , gracias por subirlo che ;)

Yyyyy depende quién lo corrija...el mio lo corrigió Carnevalli y no le cabió mucho como hice la teoría...tenía todos los ejercicios bien planteados, me equivoqué en 2 prácticos y 1 teórico en cuentas sólamente y me puso un 6 =P...de todas formas el final era accesible...


Off-topic:
Me hiciste acordar que tengo que comprar el último tomo de Evangelion :o

Condenados para siempre a ser libres
31-07-2013 10:10
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Mensaje: #5
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
Alguien puede plantear el T1 ?? Tengo dudas con respecto al calculo de los limites de ro y tita y como dejar expresada la integral.
31-07-2013 21:22
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sentey Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
[Imagen: 12eo0PL.jpg]

\[x^{2}+y^{2}\leq 9\]

\[(\rho .cos(\theta))^{2}+(\rho .sen(\theta))^{2} \leq 9\]

\[\rho^{2} \leq 9\]

\[|\rho| \leq 3\]

\[-2\leq \rho \leq 3\]

Pero \[\rho\] es positivo, entonces

\[0\leq \rho \leq 3\]



\[-x\leq y\leq x\]

\[-\rho.cos(\theta)\leq \rho.sen(\theta)\leq\rho.cos(\theta)\]

Divido por \[\rho \]

\[-cos(\theta)\leq sen(\theta)\leq cos(\theta)\]

Viendo el recinto, veo que van a ser angulos cuyo coseno es positivo, asi que divido por el coseno

\[-1\leq tan(\theta)\leq 1\]

\[-\frac{\pi }{4}\leq \theta\leq \frac{\pi }{4}\]



Queda

\[\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}d\theta \int_{0}^{3}f(\rho ,\theta ).\rho. d\rho\]

sentey escribió:Voy a cambiar esta firma el día que Me$si gane 2 mundiales
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 31-07-2013 21:55 por sentey.)
31-07-2013 21:55
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rihardmarius (28-02-2015)
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Mensaje: #7
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
(31-07-2013 09:40)aleixen escribió:  Desde cuando 3 prácticos y un teórico equivalen a un 4!! me vieron la cara mal =( , gracias por subirlo che ;)
pasa que la consigna para aprobar el final son 2 PRACTICOS y 2 TEORICOS bien hechos.... pienso que por eso te pusieron 4 con 3 practicos bien

01-08-2013 00:19
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Mensaje: #8
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
No dice que se aprueba con 2 practicos y 1 teorico bien hechos?

sentey escribió:Voy a cambiar esta firma el día que Me$si gane 2 mundiales
01-08-2013 10:11
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Mensaje: #9
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
Perdon lei cualquier cosa =P tenes razon sentey

01-08-2013 12:53
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Mensaje: #10
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
Aghh todavía no cursé AMII y leo esto y es como si estuviera en chino!

Uds dicen que cuando la curse voy a entender algo de esto? Jaja
01-08-2013 13:14
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Mensaje: #11
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
sentey, esta bien integrar tita de pi/4 a 3/4pi ??
y con respecto a la funcion que se integra una vez que se realiza el cambio de variable... f (tita, ro) no deberia ser f (ro.cos tita, ro.sen tita) ??

gracias.
01-08-2013 16:35
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Mensaje: #12
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
Nop, si integrás a tita entre 3/4pi y pi/4 fijate que te quedarían los dos "octavos" de círculo de arriba, y no es lo que te piden, sino los que marcó Sentey. En cuanto a la función, sí, es f(ro cos tita; ro sen tita).
01-08-2013 17:57
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hernanf_87 Sin conexión
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Mensaje: #13
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
tenes razon, gracias.

con respecto al E1, el det de la matriz jacobiana del campo vectorial de transformacion, como transformas para que el determinante te quede 2u?
01-08-2013 18:20
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Mensaje: #14
RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
Estimados, alguno podria subir la resolucion del puno T1) por favor? Creo que lo tengo mal yo. Gracias!=)
04-08-2013 17:33
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RE: [Aporte] Final 30-07-2013 AM2 resuelto
(01-08-2013 18:20)hernanf_87 escribió:  tenes razon, gracias.

con respecto al E1, el det de la matriz jacobiana del campo vectorial de transformacion, como transformas para que el determinante te quede 2u?

calcula la matriz jacobiada respecto de cada variable y aplicas determinante a dicha matriz

(04-08-2013 17:33)Pianta escribió:  Estimados, alguno podria subir la resolucion del puno T1) por favor? Creo que lo tengo mal yo. Gracias!=)

Lo resolvio sentey , mensaje #6

04-08-2013 22:39
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