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area de una circunferencia
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el_fede9 Sin conexión
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Mensaje: #1
area de una circunferencia Dudas y recomendaciones Análisis Matemático II
Gente necesito calcular el área de una circunferencia desplazada del origen.

En cartesianas es asi: y^2 + (x+3)^2 = 9

como hago para hacerlo en polares??

Ya que esta en el segundo y tercer cuadrante

el angulo va entre pi/2 <= a <= 3/2 pi

y el radio??


como lo relaciono con =

(integral doble de) f (r cos α, r sen α) r dr dα
??

f (r cos α, r sen α) seria = 1 ??


gracias
06-07-2013 00:29
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florlon Ausente
Campeon del cubo Rubik
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Ing. Naval
UBA - Ingeniería

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Mensaje: #2
RE: area de una circunferencia
si tenes (x+3)^2+y^2=9
el ángulo como bien dijiste, entre pi/2 y 3/2pi
para el radio r, fijate las coordenadas, el cambio que estás haciendo
x = r cos t
y = r sen t

reemplazás las coordenadas en la ecuación de la circunferencia
(r cos t + 3)^2+r^2*(sen t)^2=9
y despejás de ahí el radio, te queda (si no flashée en las cuentas) algo como: r= - 6 cos t (fijate que el coseno es negativo en el intervalo en el que se mueve t)

como es el área que tenés que calcular, f=1, y cuando hacés la integral tenés que poner un "r", por el jacobiano, por el cambio de variable que estás haciendo para resolver la integral.

.
06-07-2013 00:44
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: area de una circunferencia
Para hacerlo mas simple toma el cambio

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(-3+r\cos\theta,r\sin\theta)\quad Dg=r\]

de donde obtenes el área de la circunferencia por integrales dobles, remplazando el cambio propuesto en tu circunferencia, como no hay restricciones angulares tenés que

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}rdr d\theta=9\pi\]

con el cambio

\[g:R^2\to R^2/g(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\quad Dg=r\]

como bien dijo florlon tenes que resolver

\[A=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi}\int_{0}^{-6\cos\theta}rdr d\theta=9\pi\]

los limites de integración dependen de donde tomes como centro la circunferencia, con el primer cambio que propuse, estamos tomando como centro el (-3,0), el segundo cambio toma como centro

el (0,0) por decirlo de alguna manera ;)

06-07-2013 01:36
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