Enviar respuesta 
 
Calificación:
  • 0 votos - 0 Media
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Buscar en el tema
[Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
Autor Mensaje
Julita Sin conexión
Mrs Lovett
Ingeniera
********

Ing. Naval
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 3.366
Agradecimientos dados: 64
Agradecimientos: 166 en 63 posts
Registro en: Jun 2010
Mensaje: #1
[Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Bueno, estuve haciendo ejercicios y hay mil que no me salen...
Los subo todos... si alguien quiere resolver alguno se lo agradecería =P

1) Dada la matriz A: (1,0,a), (b,1,0), (0,-1,1) (puestos en filas)
a) Qué relación deben cumplir las constantes a y b para que la dimensión del subespacio solución Sh= {XeR3/AX =N} sea igual a 1 y encuentre dicha solución. (solución: ab=1; Sh = {(x,y,z)eR3/ (x,y,z) = (-a,1,1)t ^ teR})


2) Dada la función: F:R3->R3/F(x)= AX con A = (2,1,1), (0,1,1), (0,0,0) (en filas)
a) Encuentre el conjunto imágen de la función y justifique por qué es un subespacio del codominio. (solución: Im(F) = {(x,y,z)eR3/z=0} plano que contiene al orígen)
b)Halle todos los vectores cuya imágen es el mismo vector (AX=X). Cuál es la interpretación geométrica? (Solución: {(x,y,z)eR3/(x,y,z) = (1,-1,0)t ^ teR} recta que contiene al orígen)


3)Halle la expresión analítica de una TL R3->R3 tal que:
Nu(t) = gen {(-2,1,0)}, Img(t): vectores posición incluidos en el plano pi: x+2y-3z=0 (solución, una de ellas es: T: R3->R3/T(x,y,z) = (3x+6y+2z, -z, x+2y))

Y tengo dos más pero no los quiero agobiar (?)

De ser posible escriban la mayor cantidad de cuentas posibles, porque los planteos creería que los tengo bien.... y no se si me estoy confundiendo en cuentas, o en planteo o si está mal la solución -_-
Gracias!!!

*-.Ellos aceptan los vaivenes de la naturaleza, la historia y la vida, como cíclicos juegos de un destino inexorable.-*
18-02-2012 14:53
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
matyary Sin conexión
Presidente del CEIT
SORPRENDEME!
********

Ing. Electrónica
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 1.816
Agradecimientos dados: 69
Agradecimientos: 337 en 82 posts
Registro en: Mar 2011
Mensaje: #2
RE: [Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
EJERCICIO 1.


\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\ b & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

\[dim(S)=1\]


Para hacer este ejercicio lo que tenés que saber si o sí es:

\[dim(S)=ran(A)=1\] (La dimensión del subespacio es igual al rango de la matriz).


Para ello, tenés que aplicar (al menos yo lo hago así) Gauss Jordan en la matriz \[A\]. Como no sé utilizar ese método con Latex, lo que voy a hacer es poner como me queda la matriz después de aplicarlo:

\[\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\ b & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1-ab & 0 & a\\ 0 & 1-ab & 0\\ 0 & 0 & 1-ab\end{pmatrix}\]


Obviamente va a diferir dependiendo de los pivotes que elijas. Algo que tenés que tener muy en claro es tratar de no eliminar las constantes \[a\] y \[b\]. Para lograr ésto, no trabajes con pivotes iguales a \[1\]. Usá los pivotes que te queden, ejemplo en mi último paso lo que hice fue utilizar como pivote a \[1-ab\] de manera tal que ésta "ecuación" (por así decirlo) me quedó repetida en todas las columnas.


Bueno, ahora es fácil. ¿Qué tiene que pasar para que la matriz \[A\] tenga rango igual a \[1\]? Sí, hay que igualar \[1-ab\] a \[0\].

Entonces:

\[1-ab=0 \to ab=1\].

Fijate que si reemplazás eso en la matriz que me quedó después de haber utilizado Gauss-Jordan, quedaría:

\[\begin{pmatrix}0 & 0 & a\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

Es decir \[ran(A)=1\]. Por ende se cumple que \[dim(S)=1\].

Saludos!

PD.: Si hay alguna forma de realizar el método Gauss-Jordan acá en el foro, diganme que lo hago así se entiende mejor.

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]
... and it was good!


Mi web: Von Hexlein
18-02-2012 15:40
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
Saga Sin conexión
Colaborador
out of order
********

Ing. Industrial
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 3.762
Agradecimientos dados: 176
Agradecimientos: 1.679 en 917 posts
Registro en: Sep 2009
Mensaje: #3
RE: [Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
Hola julita

1) otra manera a la propuesta por maty, por el enunciado sabemos que la matriz es

\[A=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{a}\\{b}&{1}&{0}\\{0}&{-1}&{1}\end{pmatrix}\]

si pivoteamos la primer fila de la matriz obtenemos

\[A=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{a}\\{0}&{1}&{-ab}\\{0}&{-1}&{1}\end{pmatrix}\]

aplicando determinante \[|A|=1-ab\] la solucion de un sistema homogeneo es siempre SCD, o sea dimension 3 aca nos estan pidiendo que el sistema sea SCI, o sea dimension distinta de 3, para que

suceda eso, entonces \[|A|=0\Longrightarrow{ab=1}\]

Para el siguiente item, abemos que

\[AX=N\Longrightarrow{\begin{Bmatrix}{x+az=0\\ bx+y=0 \\ -y+z=0\end{matrix}}\]

despejeando de manera adecuada obtenemos

\[\begin{Bmatrix}{ x=-az \\ y=-baz\\ z=y\end{matrix}\]

con la condicion \[ab=1 \Longrightarrow{S_h=\left\{(x,y,z)\in{R^3}/ (-a,-1,-1)z \quad z\in{R}\right\}\]



Para el segundo la TL se define como

\[f:R^3\longrightarrow{R^3}/f(x,y,z)=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}\]

Aplicando la definicion de imagen obtenemos

\[\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}=(a,b,c)^t\]

de donde se deduce que c=0 por lo tanto el conjunto imagen se define como

\[Im (f)=\left\{x\in{R^3}/c=0\right\}\] plano que contiene al origen

Para el segundo item, simplemente es usar lo que nos dan como dato

\[AX=X\Longrightarrow{\begin{Bmatrix} 2x+y+z=x\\y+z=y\\0=z \end{matrix}}\]

despejando de manera habitual obtenes que \[y=-x \wedge z=0\] con lo cual obtenes

\[S=\left\{x\in{R^3}/x(1,-1,0)\quad x\in{R}\right\}\]



para el tercero son infintas TL por eso te piden que halles una, el resultado varia dependiendo de que bases estes eligiendo en el espacio de salida

;)

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 19-02-2012 15:23 por Saga.)
19-02-2012 02:05
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
Feer Sin conexión
Presidente del CEIT
win-win
**********

Ing. Electrónica
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 4.655
Agradecimientos dados: 609
Agradecimientos: 2.747 en 439 posts
Registro en: Apr 2010
Mensaje: #4
RE: [Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
Disculpa, en un sistema homogeneo la solución puede ser SCD o SCI, creo que no varía en nada a tu resolución saga pero puede ser que se te chispotió? o hablo incoherencias? (ejercicio 1)

[Imagen: digitalizartransparent.png]
19-02-2012 03:00
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
Saga Sin conexión
Colaborador
out of order
********

Ing. Industrial
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 3.762
Agradecimientos dados: 176
Agradecimientos: 1.679 en 917 posts
Registro en: Sep 2009
Mensaje: #5
RE: [Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
(19-02-2012 03:00)Feer escribió:  Disculpa

No, no te disculpo,

Cita:en un sistema homogeneo la solución puede ser SCD o SCI,


la solucion de un sistema homegeneo es siempre compatible ya que por lo menos sabes que va a existir siempre la solucion trivial, sera incompatible si existe alguna restriccion sobre la matriz

asociada, como en este ejemplo.

Cita:creo que no varía en nada a tu resolución saga pero puede ser que se te chispotió?

Sin hacer la aclaracion anterior que hice, no puedo exijir que el determinante de A sea igual a cero por lo dicho anteriormente sobre los sistemas homogeneos

Cita:o hablo incoherencias?

Puede ser, dame algun ejemplo de un sistema homogeneo donde el rango de su matriz asociada sea menor a 3 o dos para hacerlo mas sencillo.....por ejemplo ???

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 19-02-2012 03:09 por Saga.)
19-02-2012 03:08
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
matyary Sin conexión
Presidente del CEIT
SORPRENDEME!
********

Ing. Electrónica
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 1.816
Agradecimientos dados: 69
Agradecimientos: 337 en 82 posts
Registro en: Mar 2011
Mensaje: #6
RE: [Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
Claro, por medio de la determinante quizás es más fácil. No se me había ocurrido. Debe ser porque soy amante de todos los método propuestos por Gauss Jajaja

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]
... and it was good!


Mi web: Von Hexlein
19-02-2012 11:41
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
Julita Sin conexión
Mrs Lovett
Ingeniera
********

Ing. Naval
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 3.366
Agradecimientos dados: 64
Agradecimientos: 166 en 63 posts
Registro en: Jun 2010
Mensaje: #7
RE: [Ayuda] Álgebra, Transformaciones lineales
xD gracias a todos, después subo máaas y máaaaas para entretenerlos (?) =P

*-.Ellos aceptan los vaivenes de la naturaleza, la historia y la vida, como cíclicos juegos de un destino inexorable.-*
19-02-2012 15:17
Encuentra todos sus mensajes Agregar agradecimiento Cita este mensaje en tu respuesta
Buscar en el tema
Enviar respuesta 




Usuario(s) navegando en este tema: 1 invitado(s)



    This forum uses Lukasz Tkacz MyBB addons.