Hola gente! Tengo una duda con un ejercicio de transformaciones lineales.. Lo tengo casi hecho pero no se bien como terminarlo.

Dice
Sea la funcion F: R(2x2) --> R3 / f \[\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix}a+b-c\\a+b+d \\ b+c+d\end{pmatrix}\]

Halle la matriz respecto de las bases

\[\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

y \[\begin{pmatrix}0\\2 \\ 0\end{pmatrix}\], \[\begin{pmatrix}2\\0 \\ 1\end{pmatrix}\] , \[\begin{pmatrix}0\\1\\ 1 \end{pmatrix}\]

Utilizando la matriz obtenida hallar la imagen de \[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}\]


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Hasta ahi el enunciado, para hallar la matriz en esas bases calculo la transformada de cada elemento de la base de salida, lo transformo despues a la base de llegada y los vectores que obtengo los pongo como columnas de la matriz.

Llego a esta: \[\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

Mi duda aparece cuando me pide que calcule la imagen de \[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}\]

A esa matriz, tengo que cambiarle la base por la que da el ejercicio? La tengo que dejar asi? Se me acabaron las ideas

Graciasss de antemano por la respuesta

Sí, esa matriz a la que tenés que calcularle la imagen está en la base canónica. Si para allar la imagen lo que vas a hacer es multiplicarlo por la matriz de la transformación obtenida sí, tenés que pasarla a las bases que te dan (ojo que el resultado tmb va a estar en esa otra base).

Otra forma es hallar la matriz de transformación en de canónica a canónica y multiplicás directamente... pero allá vos!

Si estoy pifiando en lo que digo, no duden en putearme.

La matriz \[\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\] Es MB1B2 O MBB' según la notación

MB1B2*[V]B1=T[V]B2


Se expresa \[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}\] Como combinacion lineal de B1:
\[\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

\[\begin{matrix}-1=a+b\\ 3=a+d\\ 2=a+b+d\\ 2=a+c+d\end{matrix}\]

a=0;b=c=-1;d=3

\[\begin{pmatrix}0\\ -1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\]

Al hacer

\[\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\] * \[\begin{pmatrix}0\\ -1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\] =\[\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 4\end{pmatrix}\]

Ahora:

\[(a,b,c)=0*(0,2,0)+0*(2,0,1)+4*(0,1,1)\]

\[(a,b,c)=(0,4,4)\]

Haciendo \[T(\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 2& 2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0\\ 4\\ 7\end{pmatrix}\]

Se llega a un resultado distinto, por lo que seguro tuve algun error de calculo o sacaste mal la matriz asociada, de todas maneras el procedimiento es este