Hola que tal? Necesito ayuda con este ejercicio, la verdad que me marea un poco. Me sería clave saber como se hacen este tipo de ejercicios. Me darían una gran mano.



Gracias!

Holas!
Estos ejercicios se resuelven con el teorema fundamental de las transformaciones lineales. Es decir, si tenes una base de la transformacion junto con sus transformados te queda definida la T.L.
(te escribo suponiendo que tenes claro el tema de las bases)
En este caso con tus datos...

Con respecto al nucleo, el dato que te dan parece raro, pero es simple si Y= -x y a la vez y=-z, entonces x=z tambien, son todos iguales

entonces, una base del nucleo (x;y;z)/ x=y=z, donde todos sus elementos tendran la forma (tomando x como ejemplo) (x,x,x), todos sus componentes son iguales, o sea, que:
B nu (1,1,1)
y ahora necesitamos el transformado, cuanto vale le transformado de cualquier elemento del nucleo?, si, el vector nulo del segundo espacio.

T(1,1,1)= (0,0,0)

Con el segundo dato necesitamos encontrar los autovectores que generan ese autoespacio, sencillo ya que es un plano y necesitamos una base de el.
Si los vectores del plano tienen la forma x=y, entonces un vector generico (x,y,z) se puede escribir como (x,x,z), que descomponiendo en una suma de 2 vcectores nos queda (x,x,0) + (0,0,z)
Sacando las variables como factor comun nos queda una base (1,1,0) y (0,0,1)

Bueno ahora los transformados, como sabemos que esta base son autovectores, por definicion sabemos que el transfomado de un autovector es igual al producto de ese autovector por el autovalor asociado, o sea:

T(1,1,0)=(3,3,0)
T(0,0,1)=(0,0,3)

y ya tenemos una base (fijate que son l.i.) y sus transformados, por lo que la TL quedo bien definida.

El de la matriz trata de hacerlo vos, acordate la definicion. Cada columna de la matriz es el transformado de la primer base (b) escrito como combinacion lineal de los vectores de la segunda base (tambien b)

Suerte!

Te mandaste LA explicación jaja. Lo voy a tratar de hacer, después subo como quedó. Muchas gracias Darkness