Hola, primero que nada quiero dar gracias a todos los que me ayudaron en este trayecto, aprendí muchas cosas y sinceramente estoy muy agradecido.

Quisiera que esta vez me ayuden con estos ejercicios, ( no necesariamente que los resuelvan, sino que me den una "ayudita" o tipo una herramienta para resolverlos)

Gracias de antemano.

En el primer ejercicio tenes que despejar de forma tal que te quede la raíz sola en un termino y después elevar ambos miembros al cuadrado.
De ahí en mas es una cuadrática, ojo con los resultado, probalos ya que te puede dar algún valor que haga la raíz negativa.

El segundo ejercicio es así:
Tenés los catetos del tríangulo, por pitágoras sacás la hipotenusa, que corresponde a 4 lados del octógono, acordate que no es regular, por lo tanto los otros 4 lados que faltan es una distancia "d" que si le sumás dos catetos te dan el lado del cuadrado
Sabés que el perímetro del octógono es 104, le restás 4 lados que ya conocés (104 - 56 )
y eso te va a dar los otros 4, esto te da 12 c/u y a esto le sumás dos catetos dandote el lado del cuadrado.

Con el lado sacás el área del cuadrado, y le restás el área de cuatro triángulos

Me dio esto, no lo corroboré:
\[ 380+48\sqrt[]{98}\approx 815.176 cm^2\]

El ejercicio tres CREO que es así:
para sacar el mcm entre dos polinomios, tenés que factorizarlos primero (se hace en factores primos)
entonces te quedan
\[6x^2-24x-270 = 6(x-9)(x+5)\]
\[x^2-2x-35 =(x-7)(x+5)\]
(si, 6 no es un número primo, en este ejercicio no cambia nada igual)
El mcm es multiplicar todos los paréntesis, y si se repite alguno poner el de mayor grado 1 sola vez, en este caso:
\[6(x-9)(x-7)(x+5) = 6x^3 -66x^2 -102x+1890\]

hacés ese polinomio dividido \[3x^2 + 1\]

y te da de resto \[-104x + 1912\]

si alguien puede confirmar el resultado estaría bien

El otro ejercicio, el 4 es así:
Por pitágoras y relacionando los lados que no sabés con BM te da la siguiente ecuación
\[(52\sqrt[]{3})^2 + BM^2 = (2BM)^2\]
o sea el cateto que te falta tiene el valor BM porque es un equilatero o sea BM = BA = MA =MC, y la hipotenusa es 2BM porque MC = BM ; BC = BM + MC = 2BM = 2MC

Te queda \[BM = 52cm\]

El triángulo que hay que descubrir es un isósceles por razonamiento ( dos lados son iguales, MA = MC por las igualdades que dije antes). Para sacar el área necesitás la base, que ya la sabés (AC) y la altura. La altura es la linea que hiciste en tu dibujito, esa linea perpendicular a la base nos da dos triángulos rectángulos, podemos hacer pitágoras.
\[(26\sqrt[]{3})^2 + h^2 = 52^2 \rightarrow h=26cm\]

la altura por la base sobre dos nos da el área de una de las mitades, o sea si multiplico por dos me queda el triángulo total, esta ecuación es
\[26 * 26 \sqrt{3} =676\sqrt{3} \approx 1170.866cm^2\]