Hola, alguien me puede dar una mano con este ejercicio, no se como plantear los limites de integracion. Gracias

Determine el centro de masa del cuerpo limitado por y=x , y=2x , x+y+z=6 , z=0 si su densidad es proporcional en cada punto a la distancia desde el punto al plano yz

por defincion el centro de masa se expresa como

\[M=\iiint _R \delta (x,y,z) dxdydz\]

por los datos del enunciado sabes que

\[\delta (x,y,z)=K|x|\]

para los limites de integracion

\[0<z<6-x-y\quad x<y<2x\]

con z=0 entonces obtenes

\[0<y<6-x\quad x<y<2x\]

hay dos limites superiores en y lo que nos indica que la integral se divide en dos partes , dibujas las rectas en el plano xy obteniendo la region R



entonces , viendo el dibujo y planteando las intersecciones correspondientes, el centro de masa vendra definido por

\[\\M=\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x}\int_{0}^{6-x-y}kx dzdydx+\int_{2}^{3}\int_{x}^{6-x}\int_{0}^{6-x-y}kx dzdydx=\\\\\\k\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x}x(6-x-y)dydx+k\int_{2}^{3}\int_{x}^{6-x}x(6-x-y)dydx\]

el valor absoluto de la variable x desaparece por estar la region R en el primer cuadrante, para reducir cuentas apliquemos un cambio de variable, en la primera integral tomo la transformacion

\[T:R^2\to R^2/T(x,y)=(x,yx)\quad |D_T|=x\]

con este cambio la primera integral se transforma

\[k\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x}x^2(6-x-yx)dydx=k\int_{0}^{2}\int_{1}^{2}6x^2-x^3-yx^3dydx=6k\]

para la segunda, tomo el cambio

\[g:R^2\to R^2/g(x,y)=(x,6-y-x)\quad |D_g|=1\]

luego la segunda integral se transforma

\[k\int_{2}^{3}\int_{x}^{6-x}x(6-x-y)dydx=\int_{2}^{3}\int_{0}^{6-2x}xy dydx=\frac{3}{2}k\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{M=\iint k|x|dzdydx=\frac{15}{2}k}}\]

revisa las cuentas por las dudas

Pd: tambien podes resolver sin aplicar cambio de variable... eso esta a gusto de cada uno

la respuesta de la guia es un punto, o sea que una vez que calculas la masa (lo que hizo saga) tenes que hacer un par de integrales mas.

segun saque de mi apunte de carnevali, para sacar la \[Xcm\] tenes que hacer \[\int \int \int \frac{x\delta (x,y,z)}{Masa} dx dy dz\]

analogamente para la \[Ycm\] y \[Zcm\]

(en vez de esa x, pones y, z, etc)

es una locura este ejercicio, no creo que te lo tomen en un parcial

uh si que boludo ... yo calcule la masa, no el centro de masa ... jejej estaba ahi feder te da la formula para el centro de masa, edito mi primer mensaje , gracias por la aclaracion feder, una vez teniendo la masa...

hallar las coordenadas de su centro no es complicado

Muchas gracias a los dos.